「72の法則」とは、
元本と利子の合計が元本の2倍になるおおよその年数は、72を利率で割ると得られる
というものです。
ただし、利子は複利で出しています。
元本を1、年利をとしたとき、
年後の元本と利子の合計が2倍となっているので、
\begin{equation}
(1 + r)^n =2
\end{equation}という関係が成り立ちます。
両辺の自然対数をとります。
\begin{equation}
n \log (1 + r) = \log 2
\end{equation}これより、
\begin{equation}
n = \frac{\log 2}{\log (1 + r)}
\end{equation}となります。
の場合、
\begin{eqnarray}
\log (1 + r) &=& r - \frac{r^2}{2} + \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4} + \cdots \\
& \approx & r
\end{eqnarray}です。
また、
\begin{equation}
\log 2 = 0.693 \cdots
\end{equation}なので、
\begin{equation}
n \approx \frac{0.693}{r}
\end{equation}となります。
年利がパーセント表記になっていればと置き換えて、
\begin{equation}
n \approx \frac{69.3}{R}
\end{equation}となります。
利用の便のため、
\begin{equation}
n \approx \frac{72}{R}
\end{equation}としています。
なお、半年複利の場合でも、
\begin{equation}
\left( 1 + \frac{r}{2} \right)^{2n} = 2
\end{equation}より
\begin{equation}
2n \log \left( 1 + \frac{r}{2} \right) = \log 2
\end{equation}を経て
\begin{eqnarray}
n &=& \cfrac{\log 2}{2 \log \left( 1 + \cfrac{r}{2} \right)} \\
& \approx & \cfrac{\log 2}{2 \cdot \cfrac{r}{2}} \\
& \approx & \frac{0.693}{r}
\end{eqnarray}となります。
