平面上の点P, Q, Rが同一直線上にないとき、それらを3頂点とする三角形の面積を△PQRで表す。また、P, Q, Rが同一直線上にあるときは△PQR=0とする。
A, B. Cを平面上の3点とし、△ABC=1とする。この平面上の点Xが
\begin{equation}
2 \leqq \triangle \mathrm{ABX} + \triangle \mathrm{BCX} + \triangle \mathrm{CAX} \leqq 3
\end{equation}を満たしながら動くとき、Xの動きうる範囲の面積を求めよ。
東大 2020年 前期 理系 第2問(1/2) - 数式で独楽する
とは異なるアプローチで解くことができます。
答案
\begin{equation}
S = \triangle \mathrm{ABX} + \triangle \mathrm{BCX} + \triangle \mathrm{CAX}
\end{equation}とします。
点Xが△ABCの内部にある場合、となり、条件に合いません。
したがって、点Xは△ABCの外部にあることになります。
点Xの取り方は図-1, 2に分類できます。
頂点A, B, Cに対し同様の位置関係になるので、図では頂点Aに対し点Xが△ABCと同じ側にあるのが図-1、反対側にあるのが図-2としています。
図-1の場合
△ABCと△BCXは底辺BCが共通です。
両者の高さの比を$1:x$とすると
\begin{equation}
\triangle \mathrm{BCX} = x
\end{equation}です。
\begin{equation}
S = \triangle \mathrm{ABC} + 2\triangle \mathrm{BCX} = 1 + 2x
\end{equation}となります。*1
なので
、すなわち
\begin{equation}
\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1
\end{equation}となります。
\begin{equation}
\frac{1}{2} \times \left( \frac{3}{2} + 2 \right) = \frac{7}{4}
\end{equation}となります。
図-2の場合
XAとBCの交点をY、とすると
\begin{equation}
\triangle \mathrm{ABX} + \triangle \mathrm{CAX} =x
\end{equation}となります。*2
\begin{equation}
S = \triangle \mathrm{ABC} + 2(\triangle \mathrm{ABX} + \triangle \mathrm{CAX}) = 1 + 2x
\end{equation}となります。*3
なので
、すなわち
\begin{equation}
\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1
\end{equation}となります。
\begin{equation}
\frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{3}{4}
\end{equation}となります。
まとめ
頂点B, Cについても同様なので、点Xの動きうる範囲の面積は、
\begin{equation}
3 \ times \left( \frac{7}{4} + \frac{3}{4} \right) = \frac{15}{2}
\end{equation}となります。
講評
こちらの方が簡潔にできてしまいました。
