次の数式系を考える。
\begin{eqnarray}
\log_4 x + \log_8 (yz) &=& 2 \\
\log_4 y + \log_8 (zx) &=& 4 \\
\log _4 z + \log_8 (xy) &=& 5
\end{eqnarray}が
と表される場合、
を求めよ。
The American Regions Mathematics League (ARML)は、アメリカの高校の数学の大会です。
対数のパズルのようです。
3本の似た式が並んでいますが、対数の底と式の値が揃っていません。
先ず、対数の底を揃えてみましょう。
\begin{eqnarray}
\log_4 x + \log_8 (yz) &=& \frac{\log_2 x}{\log_2 4} + \frac{\log_2 (yz)}{\log_2 8} \\
&=& \frac{1}{2} \, \log_2 x + \frac{1}{3} \, \log_2 (yz) \\
&=& \log_2 \left( x^{1/2} \, y^{1/3} \, z^{1/3} \right) =2
\end{eqnarray}よって、
\begin{equation}
x^{1/2} \, y^{1/3} \, z^{1/3} = 2^2 \tag{1}
\end{equation}となります。
他の2式からも同様に、
\begin{eqnarray}
y^{1/2} \, z^{1/3} \, x^{1/3} &=& 2^4 \tag{2} \\
z^{1/2} \, x^{1/3} \, y^{1/3} &=& 2^5 \tag{3}
\end{eqnarray}を得ます。
式(1)~(3)を辺々相乗ずると、
\begin{equation}
(xyz)^{7/6} = 2^{11}
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
xyz = 2^{66/7}
\end{equation}を得ます。
よって、
\begin{equation}
k = \frac{66}{7}
\end{equation}となります。
