ベクトルに対し、
\begin{eqnarray}
\mathrm{div} (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) &=& \boldsymbol{B} \cdot (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A} \cdot (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{B}) \\
\nabla \cdot (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) &=& \boldsymbol{B} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{B})
\end{eqnarray}
が成り立ちます。
アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
エディントンのイプシロンまたはレヴィ・チヴィタ記号
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
内線と外積の表記
ベクトルの内積 - 数式で独楽する
ベクトルの外積 - 数式で独楽する
を用いると、は、
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) &=& \frac{\partial}{\partial x_i} \, \epsilon_{ijk} \, A_j \, B_k \\
&=& \epsilon_{ijk} \, \left( \frac{\partial A_j}{\partial x_i} \, B_k + A_j \, \frac{\partial B_k}{\partial x_i} \right)
\end{eqnarray}となります。
ここで、エディントンのイプシロンの添字を、第1項では
に、第2項では
に入れ替えます。
第1項では添字を2回入れ替えているので符号はそのまま、第2項では1回入れ替えているので符号が反転します。
\begin{equation}
\nabla \cdot (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = \epsilon_{kij} \, B_k \, \frac{\partial}{\partial x_i} \, A_j - \epsilon_{jik} \, A_j \, \frac{\partial}{\partial x_i} \, B_k
\end{equation}となります。
ベクトルの回転の形を思い出すと、
\begin{equation}
\nabla \cdot (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = B_k \, (\nabla \times \boldsymbol{A})_k - A_j \, (\nabla \times \boldsymbol{B})_j
\end{equation}となり、さらに内積の形を用いて
\begin{equation}
\nabla \cdot (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = \boldsymbol{B} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{B})
\end{equation}を得ます。
外積の発散は、回転の内積になります。
積の微分と似た形になりますが、第2項は符号が反転しています。
積の微分 - 数式で独楽する
