ベクトルとスカラー
に対し、
\begin{eqnarray}
\mathrm{rot} (\phi \boldsymbol{A}) &=& (\mathrm{grad}\, \phi) \times \boldsymbol{A} + \phi (\mathrm{rot} \, \boldsymbol{A}) \\
\nabla \times (\phi \boldsymbol{A}) &=& (\nabla \phi) \times \boldsymbol{A} + \phi (\nabla \times \boldsymbol{A})
\end{eqnarray}
が成り立ちます。
アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
エディントンのイプシロンまたはレヴィ・チヴィタ記号
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
外積の表記
ベクトルの外積 - 数式で独楽する
を用いると、の
成分は、
\begin{eqnarray}
\Bigl( \nabla \times (\phi \boldsymbol{A}) \Bigr)_i &=& \epsilon_{ijk} \, \frac{\partial}{\partial x_j}(\phi A_k) \\
&=& \epsilon_{ijk} \, \frac{\partial \phi}{\partial x_j} \, A_k + \epsilon_{ijk} \, \phi \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, A_k \\
&=& \Bigl( (\nabla \phi) \times \boldsymbol{A} + \phi (\nabla \times \boldsymbol{A} )\Bigr)_i
\end{eqnarray}となります。
したがって、
\begin{equation}
\nabla \times (\phi \boldsymbol{A}) = (\nabla \phi) \times \boldsymbol{A} + \phi (\nabla \times \boldsymbol{A})
\end{equation}となります。
ベクトルのスカラー倍の回転は、勾配との外積と外積のスカラー倍の和になります。
こちらも積の微分と似た形になります。
積の微分 - 数式で独楽する
