東大 2020年 前期 理系 第5問

座標空間において、平面上の原点を中心とする半径1の円を考える。この円を底面とし、点(0, 0, 2)を頂点とする円錐(内部を含む)をとする。また、点A(1, 0, 2)を考える。

(1) 点Pがの底面を動くとき、線分APが通過する部分をとする。平面によるの切り口および、平面によるの切り口を同一平面上に図示せよ。
(2) 点Pがを動くとき、線分APが通過する部分の体積を求めよ。

(1)の答案

は、底面が、頂点が(1, 0, 2)の斜円錐です。


それを踏まえて平面$z=1$における$S,T$の切り口を考えます。
$S$の切り口は、原点を中心とする半径1/2の円となります。
$T$の切り口は、半径1/2でで接する円となります。中心は(1/2, 0, 1)にあります。

図示すると次のようになります。は青、は赤です。

(2)の答案

点Pが内の平面を動くとき、線分APが通過する部分をとします。
は、底面が
\begin{equation}
x^2 + y^2 \leqq \left( 1- \frac{u}{2} \right)^2, \ z=u
\end{equation}で頂点が(1, 0, 2)の斜円錐となります。なお、
\begin{equation}
T_0 = T
\end{equation}です。
ここで、の平面における断面を考えます。
半径はいずれも
\begin{equation}
r = 1 - \frac{t}{2}
\end{equation}です。
中心はそれぞれ、
\begin{equation}
(0,0,t), \ \left( 1 - \frac{2 - t}{2 - u}, \, 0, \, t \right), \ \left( \frac{t}{2}, \, 0, \, t \right)
\end{equation}となります。
変数が0からまで動くとき、中心はからまで移動します。

図示すると次のようになります。

断面積$S(t)$は、
\begin{eqnarray}
S(t) &=& \pi r^2 + 2r(1 -r) \\
&=& \pi \left( 1- \frac{t}{2} \right)^2 +\frac{1}{2} \, t(2 - t)
\end{eqnarray}となります。

よって、求める体積は、
\begin{eqnarray}
V &=& \int_0^2 S(t) \, dt \\
&=& \int_0^2 \left \{ \pi \left( 1 - \frac{t}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} \, t(2 - t) \right \} \, dt \\
&=& \left[ - \frac{2 \pi}{3} \left( 1 - \frac{t}{2} \right)^3 \right]_0^2 + \frac{1}{2} \frac{1}{6} \, (2-0)^3 \\
&=& \frac{2}{3} \, \pi + \frac{2}{3}
\end{eqnarray}となります。