平面上で、
のグラフと
のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。
解答例
曲線の式は、
\begin{eqnarray}
y &=& \left| \frac{3}{4} \, x^2 -3 \right| -2 \\
&=& \left \{ \begin{array}{rl}
\displaystyle \frac{3}{4} \, x^2 -5 & (x < -2, \, 2 < x) \\
\displaystyle -\frac{3}{4} \, x^2 +1 & (-2 \leqq x \leqq 2)
\end{array} \right.
\end{eqnarray}です。
直線と曲線の交点の座標を求めていきます。
の場合
\begin{equation}
x = \frac{3}{4} \, x^2 -5
\end{equation}より、
\begin{eqnarray}
3x^2 -4x -20 &=& 0 \\
(3x -10)(x -2) &=& 0
\end{eqnarray}よって
\begin{equation}
x = \frac{10}{3}
\end{equation}です。
の場合
\begin{equation}
x = -\frac{3}{4} \, x^2 +1
\end{equation}より、
\begin{eqnarray}
3x^2 +4x -4 &=& 0 \\
(3x -2)(x +2) &=& 0
\end{eqnarray}よって
\begin{equation}
x = -2, \ \frac{2}{3}
\end{equation}です。
求める面積は、
\begin{eqnarray}
S &=& \int_{-2}^\frac{2}{3} \left( -\frac{3}{4} \, x^2 -x +1 \right) \, dx
+\int_\frac{2}{3}^2 \left( \frac{3}{4} \, x^2 +x -1 \right) \, dx
+\int_2^\frac{10}{3} \left( -\frac{3}{4} \, x^2 +x +5 \right) \, dx \\
&=& \left[ -\frac{x^3}{4} -\frac{x^2}{3} +x \right]_{-2}^\frac{2}{3}
+\left[ \frac{x^3}{4} +\frac{x^2}{3} -x \right]_\frac{2}{3}^2
+\left[ -\frac{x^3}{4} +\frac{x^2}{3} +5x \right]_2^\frac{10}{3} \\
&=& \left( -\frac{2}{27} -\frac{2}{9} +\frac{2}{3} +(-2) +2 +2 \right) \\
&& +\left( 2 +2 -2 -\frac{2}{27} -\frac{2}{9} +\frac{2}{3} \right)
+\left( -\frac{250}{27} +\frac{50}{9} +\frac{50}{3} +2 -2 +10 \right) \\
&=& \frac{64}{27} +\frac{64}{27} +\frac{80}{27} \\
&=& \frac{208}{27}
\end{eqnarray}となります。
解説
曲線と直線の交点を求め、何のひねりもなく面積を出しています。
「／と︶の間」－「︵と︶の間」＋ 2×「︵と／の間」でも出せます。
