東大 2020年 前期 理系 第3問(2/2)

を満たす実数に対し、
\begin{eqnarray}
x(t) &=& (1 + t)\sqrt{1 + t} \\
y(t) &=& 3(1 + t)\sqrt{1 - t}
\end{eqnarray}とする。座標平面上の点Pを考える。

(1) におけるの関数は単調に減少することを示せ。
(2) 原点とPとの距離をとする。におけるの関数の増減を調べ、最大値を求めよ。
(3) がを動くときのPの軌跡をとし、と軸で囲まれた領域をとする。原点を中心としてを時計回りに回転させるとき、が通過する領域の面積を求めよ。

続きです。
東大 2020年 前期 理系 第3問(1/2) - 数式で独楽する

小問(3)の答案

図形を原点を中心に回転させ、通過する領域について考えます。
原点より最も遠い点と原点を結んだ線分が通過する領域が、他の部分が通過する領域を覆うことになります。
線分が通過しない領域は、

• 領域の線分より上の部分
• 線分の線分より下の部分を回転させたもの

です。面積としては、領域の面積に相当します。

小問(1), (2)により、領域を原点周りに時計回りに回転させたときに通過する領域の面積は、

• 領域の面積
• 曲線上の最も原点より遠い点までの距離を半径とする四分円の面積

の和となります。

図では斜線部と打点部の和となります。

においては単調増加であることと、
\begin{equation}
dx = \frac{3}{2} \sqrt{1 + t} \, dt
\end{equation} であることから、の面積は次のようになります。
\begin{eqnarray}
\int_0^{2\sqrt{2}} y \, dx &=& \int_{-1}^1 3(1 + t) \sqrt{1 - t} \cdot \frac{3}{2} \sqrt{1 + t} \, dt \\
&=& \frac{9}{2} \int_{-1}^1 (1 + t) \sqrt{1 - t^2} \, dt \\
&=& 9 \int_0^1 \sqrt{1 - t^2} \, dt \\
&=& \frac{9}{4} \, \pi
\end{eqnarray}となります。*1 *2
定積分の置換積分 - 数式で独楽する

四分円の面積は、
\begin{equation}
\frac{1}{4} \left \{ f \left( \frac{1}{2} \right) \right \}^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{9 \cdot 6}{4} \, \pi = \frac{27}{8} \, \pi
\end{equation}です。

よって、求める領域の面積は、
\begin{equation}
\left( \frac{9}{4} + \frac{27}{8} \right) \, \pi = \frac{45}{8} \, \pi
\end{equation}となります。

小問(3)の解説

この問題のポイントは、領域が回転して通過する領域を、落ち着いて考えられるかどうかにあるのでしょう。
求める面積が領域そのものと四分円であることを見破れば解くことができます。
領域の面積を求めるのは、がの関数となっていることを踏まえて、置換積分で攻めていくことになります。

*1:は偶関数なので \begin{equation} \int_{-1}^1 \sqrt{1 - t^2} \, dt = \int_0^1 \sqrt{1 - t^2} \, dt \end{equation}となります。は奇関数なので、 \begin{equation} \int_{-1}^1 t\sqrt{1 - t^2} \, dt = 0 \end{equation}となります。

*2:\begin{equation} \int_0^1 \sqrt{1 - t^2} \, dt \end{equation}は、半径1の四分円の面積となります。