京大 2020年前期理系第6問 - 数式で独楽する

$x,y,z$ を座標とする空間に $xz$ 平面内の曲線
\begin{equation}
z = \sqrt{\log{1 + x}} \quad (0 \leqq x \leqq 1)
\end{equation}を $z$ 軸のまわりに1回転させるとき、この曲線が通過した部分よりなる図形を $S$ とする。この $S$ をさらに $x$ 軸のまわりに1回転させるとき、 $S$ が通過した部分よりなる立体を $V$ とする。このとき $V$ の体積を求めよ。

答案

f:id:toy1972:20200410232159p:plain
$V$ を $x$ 軸に垂直な平面で切断した断面を考えます。
$S$ を同じ平面で切断してできる曲線 $C$ を、 $(x,0,0)$ を中心に1回転させたとき通過する部分よりなる領域となります。
f:id:toy1972:20200410233047p:plain:w400

曲線 $C$ 上の点で、 $(x,0,0)$ より

最も遠い点は $\left( x, \, y, \, z(1) \right) = \left( x, \, y, \, \sqrt{\log 2} \right) \quad (x^2 +y^2 = 1)$
最も近い点は $(x, \, 0, \, z(x)) = \left( x, \, 0, \, \sqrt{\log(1+x)} \right)$

となります。

したがって、断面はドーナツ状となり、その面積は、
\begin{equation}
\pi \left[ \left \{ z(1) \right \}^2 +y^2 - \left \{ z(x) \right \}^2 \right] = \pi \bigl [\log 2 + 1 -x^2 - \log(1 + x) \bigr]
\end{equation}となります。

よって、 $V$ の体積は、 $x=0$ で対称であることを考慮して、
\begin{equation}
V = 2\int_0^1 \pi \bigl [\log 2 + 1 - x^2 - \log(1 + x) \bigr] dx
\end{equation}となります。

ここで、
\begin{equation}
\log(1 + x) = t
\end{equation}と置くと、
\begin{equation}
1 + x = e^t
\end{equation}なので
\begin{equation}
dx = e^t \, dt
\end{equation}となります。
線分範囲 $0 \leqq x \leqq 1$ は
\begin{equation}
0 \leqq t \leqq \log 2
\end{equation}となります。
したがって、
\begin{eqnarray}
\int_0^1 \log(1 + x) \, dx &=& \int_0^{\log 2} t \, e^t \, dt \\
&=& \biggl[ \ t \, e^t \ \biggr]_0^{\log 2} - \int_0^{\log 2} e^t \, dt \\
&=& 2\log 2 - 0 - \biggl[ \ e^t \ \biggr]_0^{\log 2} \\
&=& 2\log 2 - (2 - 1) \\
&=& 2\log 2 -1
\end{eqnarray}です。

また、
\begin{eqnarray}
\int_0^1 \bigl[ \log 2 + 1 - x^2 \bigr] \, dx &=& \biggl[ \ (\log 2 + 1) \, x - \frac{1}{3} \, x^3 \biggr]_0^1 \\
&=& \log 2 + 1 - \frac{1}{3} \\
&=& \log 2 + \frac{2}{3}
\end{eqnarray}です。

よって、求める $V$ の体積は、
\begin{eqnarray}
V &=& 2\int_0^1 \pi \bigl [\log 2 + 1 - x^2 - \log(1 + x) \bigr] dx \\
&=& 2\pi \left[ \left( \log 2 + \frac{2}{3} \right) - ( 2\log 2 - 1) \right] \\
&=& 2\pi \left( \frac{5}{3} - \log 2 \right)
\end{eqnarray}となります。