ベクトル関数やスカラー関数の積にナブラ演算子を作用させたらどうなるか、をまとめます。
ベクトル$\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$、スカラー$\phi, \psi$に対し、以下が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\nabla(\phi \psi) &=& \phi \nabla \psi + \psi \nabla \phi \\
\nabla \cdot (\phi \boldsymbol{A}) &=& (\nabla \phi) \cdot \boldsymbol{A} + \phi(\nabla \cdot \boldsymbol{A}) \\
\nabla \times (\phi \boldsymbol{A}) &=& (\nabla \phi) \times \boldsymbol{A} + \phi(\nabla \times \boldsymbol{A}) \\
\nabla \cdot (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) &=& \boldsymbol{B} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{B}) \\
\nabla \times (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) &=& (\boldsymbol{B} \cdot \nabla) \boldsymbol{A} - \boldsymbol{B} (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) - (\boldsymbol{A} \cdot \nabla) \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} (\nabla \cdot\boldsymbol{B}) \\
\nabla(\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}) &=& (\boldsymbol{B} \cdot \nabla) \boldsymbol{A} + (\boldsymbol{A} \cdot \nabla) \boldsymbol{B} +\boldsymbol{B} \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A} \times (\nabla \times \boldsymbol{B})
\end{eqnarray}
スカラーの積の勾配 - 数式で独楽する
ベクトルのスカラー倍の発散 - 数式で独楽する
ベクトルのスカラー倍の回転 - 数式で独楽する
ベクトルの外積の発散 - 数式で独楽する
ベクトルの外積の回転 - 数式で独楽する
ベクトルの内積の勾配 - 数式で独楽する
