勾配の回転

スカラーに対し、

\begin{eqnarray}
\mathrm{rot} \, \mathrm{grad} \, \phi &=& 0 \\
\nabla \times (\nabla \phi) &=& 0
\end{eqnarray}

が成り立ちます。

アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
エディントンのイプシロンまたはレヴィ・チヴィタ記号
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
外積の表記
ベクトルの外積 - 数式で独楽する
を用い、の成分を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\Bigl( \nabla \times (\nabla \phi) \Bigr)_i &=& \epsilon_{ijk} \, \frac{\partial}{\partial x_j} \, \frac{\partial}{\partial x_k} \, \phi \\
&=& \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_j \, \partial x_k} - \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_k \, \partial x_j}
\end{eqnarray}

さて、実用上、多くの場合で偏微分の順序は交換可能であるため、
\begin{equation}
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x_j \, \partial x_k} - \frac{\partial^2 \phi}{\partial x_k \, \partial x_j} = 0
\end{equation}です。
偏微分の順序交換 - 数式で独楽する

したがって、
\begin{equation}
\Bigl( \nabla \times (\nabla \phi) \Bigr)_i = 0
\end{equation}すなわち、
\begin{equation}
\nabla \times (\nabla \phi) = 0
\end{equation}となります。