東大 2020年 前期 理系 第6問(3/3)

以下の問いに答えよ。
(1) を実数とする。
\begin{equation}
A\sin 2 \theta + \sin (\theta + \alpha) = 0
\end{equation}

を考える。のとき、この方程式はの範囲に少なくとも4個の解を持つことを示せ。

(2) 座標平面上の楕円
\begin{equation}
C: \ \frac{x^2}{2} + y^2 = 1
\end{equation}

を考える。また、を満たす実数$r$に対して、不等式

\begin{equation}
2x^2 + y^2 < r^2
\end{equation}

が表す領域をとする。内のすべての点Pが以下の条件を満たすような実数()が存在することを示せ。また、そのようなの最大値を求めよ。

条件：

上の点Qで、Qにおけるの接線と直線PQが直交するようなものが少なくとも4個ある。

続きです。
東大 2020年 前期 理系 第6問(1/3) - 数式で独楽する
東大 2020年 前期 理系 第6問(2/3) - 数式で独楽する

小問(2)の答案、続き

一方、
\begin{equation}
R = r = \frac{1}{2}
\end{equation}で、解が4個に満たないことがあることを示します。*1

このとき、式(2.7)は、
\begin{equation}
\sin 2\theta - \sin(\theta - \alpha) = 0
\end{equation}となります。
和積の公式
和積の公式 - 数式で独楽する
により、
\begin{equation}
\cos \frac{3\theta - \alpha}{2} \, \sin \frac{\theta + \alpha}{2} = 0
\end{equation}となります。
これより、
\begin{eqnarray}
\cos \frac{3\theta - \alpha}{2} &=& 0 \tag{2.8} \\
\sin \frac{\theta + \alpha}{2} &=& 0 \tag{2.9}
\end{eqnarray}
のいずれかが成り立ちます。

式(1.2)を踏まえてとすると、式(2.8), (2.9)は
\begin{eqnarray}
\cos \left( \frac{3}{2} \, \theta - \frac{1}{8} \, \pi \right) &=& 0 \tag{2.10} \\
\sin \left( \frac{1}{2} \, \theta + \frac{1}{8} \, \pi \right) &=& 0\tag{2.11}
\end{eqnarray}となります。
を踏まえると、式(2.10)より
\begin{eqnarray}
\frac{3}{2} \, \theta - \frac{1}{8} \, \pi &=& \frac{1}{2} \, \pi, \ \frac{3}{2} \, \pi, \ \frac{5}{2} \\
\therefore \theta &=& \frac{5}{12} \, \pi, \ \frac{13}{12} \, \pi, \ \frac{7}{4}, \pi
\end{eqnarray}を、式(2.11)より
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \, \theta + \frac{1}{8} \, \pi &=& \pi \\
\therefore \theta &=& \frac{7}{4} \, \pi
\end{eqnarray}を得ます。
つまり、では、解は
\begin{equation}
\theta = \frac{5}{12} \, \pi, \ \frac{13}{12} \, \pi, \ \frac{7}{4} \, \pi
\end{equation}の3個のみとなります。*2

以上より、条件を満たすの最大値はとなります。

*1:ちなみにだとこのような感じです。

*2:式(1.2)~(1.5)からのそれぞれについて、 \begin{array}{|c||c|c|} \hline \alpha & \cos \frac{3\theta - \alpha}{2} = 0 &\sin \frac{\theta + \alpha}{2} = 0 \\ \hline \frac{1}{4} \pi & \frac{5}{12}\pi, \ \frac{13}{12}\pi , \ \frac{21}{12}\pi = \frac{7}{4}\pi & \frac{7}{4}\pi \\ \frac{3}{4} \pi & \frac{7}{12}\pi, \ \frac{15}{12}\pi = \frac{5}{4}\pi , \ \frac{23}{12}\pi & \frac{5}{4}\pi \\ \frac{5}{4} \pi & \frac{9}{12}\pi = \frac{3}{4}\pi, \ \frac{17}{12}\pi , \ \frac{25}{12}\pi \to \frac{1}{12}\pi & \frac{3}{4}\pi \\ \frac{7}{4} \pi & \frac{11}{12}\pi, \ \frac{19}{12}\pi , \ \frac{27}{12}\pi = \frac{9}{4}\pi \to \frac{1}{4}\pi & \frac{1}{4}\pi \\ \hline \end{array}となります。いずれも3個しか解はありません。