\begin{eqnarray}
\alpha^3 &=& -4 + \sqrt{11} \, i \\
c &=& \alpha + \bar{\alpha}
\end{eqnarray}とする。
(1)を求めよ。
(2)を求めよ。
(3)を求めよ。
(1)の答案
与えられた式から、
\begin{eqnarray}
|\alpha|^6 &=& \alpha^3 \, \overline{\alpha^3} \\
&=& \left( -4 +\sqrt{11}i \right) \left( -4 -\sqrt{11}i \right) \\
&=& 27 \tag{1.1}
\end{eqnarray}であることが分かります。
なので、
\begin{equation} |\alpha| = \sqrt{3} \end{equation}となります。
(2)の答案
与えられた式と(1)で得たより、
を計算すると、
\begin{eqnarray}
c^3 &=& (\alpha + \bar{\alpha})^3 \\
&=& \alpha^3 + 3\alpha^2 \bar{\alpha} + 3\alpha \bar{\alpha}^2 + \bar{\alpha}^3 \\
&=& \alpha^3 + \bar{\alpha}^3 + 3 \alpha \bar{\alpha} (\alpha + \bar{\alpha}) \\
&=& -8 +9c
\end{eqnarray}を得ます。
ゆえに、
\begin{equation}
c^3 -9c = -8
\end{equation}となります。
(3)の答案
(2)で得た式を解けば、$c$が求められます。
\begin{eqnarray}
c^3 -9c +8 &=& 0 \\
(c -1)(c^2 +c -8) &=& 0 \\
\therefore \ c &=& 1, \ \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}
\end{eqnarray}となります。
解説
(1)の解説
与えられた式からは容易に求められます。
\begin{equation}
|z|^2 = z \bar{z}
\end{equation}で絶対値を求めるのは鉄則です。
求めるは式(1.1)の6乗根ですが、
なので、正の実数のみを考えれば良いことになります。
(2)の解説
\begin{eqnarray}
\alpha^3 &=& -4 + \sqrt{11} i \\
\overline{\alpha^3} &=& -4 - \sqrt{11} i \\
\alpha \bar{\alpha} &=& |\alpha|^2 = 3
\end{eqnarray}より、求めることができます。
(3)の解説
もはや解説は不要です。(2)で得た3次方程式を解けば求められます。
が解であることは容易に分かります。
を括り出せば、残りの2解も求められます。
\begin{equation}
\alpha^3 = -4 + \sqrt{11}i
\end{equation}を満たすは3つあり、対応する$c$も3つとなります。
