対角の和が180°の四角形

対角の和が180°である四角形は、円に内接する。

「円に内接する四角形の対角の和は180°である」
円に内接する四角形 - 数式で独楽する
の逆の命題です。

図を用いると、

四角形ABCDについて∠A + ∠C = 180°ならば、四角形ABCDは円に内接する。

ということです。

3点A, B, Dを通る円を描き、中心をOとします。
直線BDに関して頂点Aの反対側の円周上に、適当に点C'を定めます。
円周角の定理により、
\begin{eqnarray}
2 \angle \mathrm{A} &=& \angle \mathrm{BOD} \\
2 \angle \mathrm{C'} &=& 360^\circ - \angle \mathrm{BOD}
\end{eqnarray}となることが分かります。
円周角の定理 - 数式で独楽する

これより、

∠A + ∠C' = 180°
を得ます。
一方、仮定より
∠A + ∠C = 180°
なので、
∠C = ∠C'
を得ます。
したがって、円周角の定理の逆により、
4点B, D, C, C'は同一円周上に存在する
ことが分かります。
円周角の定理の逆 - 数式で独楽する

そもそも、

4点A, B, D, C'は同一円周上にある
ので、
4点A, B, C, Dは同一円周上に存在する
つまり
四角形ABCDは円に内接する
ことが分かります。

以上より、

対角の和が180°の四角形は、円に内接する
ことが証明されました。