京大 2008年理系第3問 - 数式で独楽する

空間の1点Oを通る4直線で、どの3直線も同一平面上にないようなものを考える。このとき、4直線のいずれもO以外の点で交わる平面で、4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ。

解答例
解説

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解答例

平面と4直線の交点をA, B, C, D、
\begin{eqnarray}
\vec{a} &=& \overrightarrow{\mathrm{OA}} \\
\vec{b} &=& \overrightarrow{\mathrm{OB}} \\
\vec{c} &=& \overrightarrow{\mathrm{OC}} \\
\vec{d} &=& \overrightarrow{\mathrm{OD}}
\end{eqnarray}とします。いずれの2ベクトルも平行ではありません。
点Dについては、実数 $s,t,u$ を用いて
\begin{equation}
\vec{d} = s \vec{a} +t \vec{b} +u \vec{c} \tag{1}
\end{equation}と表すことができます。このようにおいても一般性を失いません。
なお、点Dは3直線OA, OB, OCのうち任意の2直線でなす平面上に存在しないので、
\begin{equation}
stu = 0
\end{equation}です。

点Dは平面ABC上に存在するので、 $s, t, u$ は
\begin{equation}
s +t +u =1 \tag{2}
\end{equation}を満たします。

これより、4点A, B, C, Dが平行四辺形をなすための条件を求めていきます。その条件は、式(3)~(5)のうちのいずれかとなります。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AD}} &=& \overrightarrow{\mathrm{AB}} +\overrightarrow{\mathrm{AC}} \tag{3} \\
\overrightarrow{\mathrm{BD}} &=& \overrightarrow{\mathrm{BA}} +\overrightarrow{\mathrm{BC}} \tag{4} \\
\overrightarrow{\mathrm{CD}} &=& \overrightarrow{\mathrm{CA}} +\overrightarrow{\mathrm{CB}} \tag{5}
\end{eqnarray}

式(3)より、
\begin{eqnarray}
\vec{d} -\vec{a} &=& (\vec{b} -\vec{a}) +(\vec{c} -\vec{a}) \\
\vec{d} &=& -\vec{a} +\vec{b} +\vec{c}
\end{eqnarray}を得ます。
同様に、式(4), (5)より、
\begin{eqnarray}
\vec{d} &=& \vec{a} -\vec{b} +\vec{c} \tag{7} \\
\vec{d} &=& \vec{a} +\vec{b} -\vec{c} \tag{8}
\end{eqnarray}を得ます。

式(1), (2), (6)~(8)により、 $s, t, u$ の満たすべき条件は、式(9)~(11)のいずれかとなります。
\begin{eqnarray}
(s,t,u) &=& (-1,1,1) \tag{9} \\
(s,t,u) &=& (1,-1,1) \tag{10} \\
(s,t,u) &=& (1,1,-1) \tag{11}
\end{eqnarray}

逆に、