を実数とする。
の2次方程式
は、
の範囲にいくつの解をもつか。
解答例
\begin{eqnarray}
I &=& \int_0^1 |t^2 -at| \, dt \\
f_a (x) &=& x^2 -ax -2I
\end{eqnarray}とします。
(i) の場合
\begin{eqnarray}
I &=& \int_0^1 (t^2 -at) \, dt \\
&=& \left[ \frac{1}{3} \, t^3 -\frac{1}{2} \, at^2 \right]_0^1 \\
&=& -\frac{1}{2} \, a +\frac{1}{3} \\
f_a (x) &=& x^2 -ax +a -\frac{2}{3} \\
f_a (0) &=& a -\frac{2}{3} < 0 \\
f_a (1) &=& \frac{1}{3} > 0
\end{eqnarray}なので、は、
に解を1つ持ちます。
(ii) の場合
\begin{eqnarray}
I &=& \int_0^1 (-t^2 +at) \, dt \\
&=& \left[ -\frac{1}{3} \, t^3 +\frac{1}{2} \, at^2 \right]_0^1 \\
&=& \frac{1}{2} \, a -\frac{1}{3} \\
f_a (x) &=& x^2 -ax -a +\frac{2}{3} \\
f_a (0) &=& -a +\frac{2}{3} < 0 \\
f_a (1) &=& -2a +\frac{5}{3} < 0
\end{eqnarray}は下に凸のため、
は
に解を持ちません。
(iii) の場合
\begin{eqnarray}
I &=& \int_0^a (-t^2 +at) \, dt +\int_a^1 (t^2 -at) \, dt \\
&=& \left[ -\frac{1}{3} \, t^3 +\frac{1}{2} \, at^2 \right]_0^a +\left[ \frac{1}{3} \, t^3 -\frac{1}{2} \, at^2 \right]_a^1\\
&=& -\frac{1}{3} \, a^3 +\frac{1}{2} \, a^3 +\frac{1}{3} -\frac{1}{2} \, a -\frac{1}{3} \, a^3 +\frac{1}{2} \, a^3 \\
&=& \frac{1}{3} \, a^3 -\frac{1}{2} \, a +\frac{1}{3} \\
f_a (x) &=& x^2 -ax -\frac{2}{3} \, a^3 +a -\frac{2}{3} \\
f_a (0) &=& -\frac{2}{3} \, a^3 +a -\frac{2}{3} \\
f_a (1) &=& -\frac{2}{3} \, a^3 +\frac{1}{3}
\end{eqnarray}
ここで
\begin{equation}
g(a) = f_a (0)
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
g'(a) = -2a^2 +1
\end{equation}なので、の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
a & 0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt{2}} & \cdots & 1 \\ \hline
g'(a) && + & 0 & - \\ \hline
g(a) & -\frac{2}{3} & \nearrow && \searrow & -\frac{1}{3} \\ \hline
\end{array}
における最大値は
\begin{eqnarray}
g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) &=& -\frac{1}{3\sqrt{2}} +\frac{1}{\sqrt{2}} -\frac{2}{3} \\
&=& \frac{2}{3} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} -1 \right) < 0
\end{eqnarray}なので
\begin{equation}
f_a (0) < 0
\end{equation}となります。
(iii)-a の場合
\begin{equation}
f_a (1) \geqq 0
\end{equation}なので、は、
に解を1つ持ちます。
(iii)-b の場合
\begin{equation}
f_a (1) < 0
\end{equation}は下に凸のため、
は
に解を持ちません。
(i)～(iii)を纏めると、における
の解の個数は、
のとき、1個
のとき、0個
となります。
解説
\begin{equation}
x^2 -ax = 0
\end{equation}の解はなので
の大小で場合分けをすることになります。
なので、
が解を持つかどうかは
の正負で決まります。判別式は必要ありません。
別解があります。
2000年前期 京大 文系 第5問 別解 - 数式で独楽する
