双曲線の焦点には次のような性質があります。
双曲線状の鏡がある。
一方の焦点から光を発すると、もう一方の焦点から発したように見える。
幾何学的に言い換えると、次のようになります。
双曲線上の点Pと焦点F, F'について、線分FP, F'Pはそれぞれ点Pにおける双曲線の接線と等しい角をなす。
焦点がF、F'
である双曲線の方程式は、
\begin{equation}
\frac{x^2}{d^2} - \frac{y^2}{f^2 - d^2} = 1 \tag{1}
\end{equation}です。
また、双曲線上の点Pにおける接線の方程式は、
\begin{equation}
\frac{x_0 \, x}{d^2} - \frac{y_0 \, y}{f^2 - d^2} = 1 \tag{2}
\end{equation}です。
2定点までの距離の差が一定の点の集合 - 数式で独楽する
双曲線のの各要素の関係 - 数式で独楽する
式(2)より、接線の傾きは、
\begin{equation}
\tan \theta = \frac{f^2 - d^2}{d^2} \frac{x_0}{y_0} \tag{3}
\end{equation}です。
また、FPの傾きは
\begin{equation}
\tan \alpha = \frac{y_0}{x_0 - f} \tag{4}
\end{equation}で、F'Pの傾きは
\begin{equation}
\tan \beta = \frac{y_0}{x_0 + f} \tag{5}
\end{equation}です。
なお、点Pは双曲線上の点なので
\begin{equation}
\frac{{x_0}^2}{d^2} -
\frac{{y_0}^2}{f^2 - d^2} = 1 \tag{6}
\end{equation}を満たします。
式(3)~(6)より、FP, F'Pが接線となす角の大きさを求めていきます。
それぞれ1行目は正接の加法定理です。
加法定理・正接の加法定理 - 数式で独楽する
加法定理・まとめ - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\tan (\alpha - \theta) &=& \frac{\tan \alpha - \tan \theta}{1 + \tan \alpha \tan \theta} \\
&=& \cfrac{\cfrac{y_0}{x_0 -f} - \cfrac{f^2 - d^2}{d^2} \cfrac{x_0}{y_0}}{1+ \cfrac{y_0}{x_0 - f} \cfrac{f^2 - d^2}{d^2} \cfrac{x_0}{y_0}} \\
&=& \frac{d^2 {y_0}^2 + (d^2 - f^2)(x_0 - f) x_0}{y_0 \left \{ d^2 (x_0 -f) - (f^2 -d^2) x_0 \right \} } \\
&=& \frac{d^2 (d^2 - f^2) -(d^2 -f^2) fx_0}{y_0 f (-d^2 +fx_0)} \\
&=& \frac{(d^2 -f^2)(d^2 -fx_0)}{y_0 f(-d^2 +fx_0)} \\
&=& -\frac{d^2 -f^2}{y_0 f} \\
\tan (\beta - \theta) &=& \frac{\tan \beta - \tan \theta}{1 + \tan \beta \tan \theta} \\
&=& \cfrac{\cfrac{y_0}{x_0 +f} - \cfrac{f^2 - d^2}{d^2} \cfrac{x_0}{y_0}}{1+ \cfrac{y_0}{x_0 +f} \cfrac{f^2 - d^2}{d^2} \cfrac{x_0}{y_0}} \\
&=& \frac{d^2 {y_0}^2 + (d^2 - f^2)(x_0 + f) x_0}{y_0 \left \{ d^2 (x_0 +f) - (f^2 -d^2) x_0 \right \} } \\
&=& \frac{d^2 (d^2 - f^2) +(d^2 -f^2) fx_0}{y_0 f (d^2 +fx_0)} \\
&=& \frac{(d^2 -f^2)(d^2 +fx_0)}{y_0 f(d^2 +fx_0)} \\
&=& \frac{d^2 -f^2}{y_0 f}
\end{eqnarray}
つまり、
\begin{equation}
|\alpha - \theta| = | \beta - \theta|
\end{equation}で、FP, F'Pが接線となす角の大きさが等しくなることが分かります。
