平面上の点Oを中心とし半径1の円周上に相異なる3点A, B. Cがある。△ABCの内接円の半径
は
以下であることを示せ。
解答例
内角A, B, Cの大きさをそれぞれ、対辺の長さをそれぞれ
とします。
正弦定理より、
正弦定理 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
a &=& 2\sin A \\
b &=& 2\sin B \\
c &=& 2\sin C
\end{eqnarray}が成り立ちます。
△ABCの面積は、
\begin{equation}
S = \frac{1}{2} \, bc \sin A = 2 \sin A \sin B \sin C \tag{1}
\end{equation}です。
また、内接円の半径を用いると
\begin{equation}
S = \frac{1}{2} \, (a +b +c)r = (\sin A +\sin B +\sin C) r \tag{2}
\end{equation}と表すことができます。
式(1), (2)より
\begin{equation}
\frac{1}{r} = \frac{\sin A +\sin B +\sin C}{2 \sin A \sin B \sin C}
\end{equation}を得ます。
相加平均と相乗平均の関係より、
\begin{equation}
\frac{1}{r} \geqq \frac{3 \sqrt[3]{\sin A \sin B \sin C}}{2 \sin A \sin B \sin C} \tag{4}
\end{equation}となります。
等号成立は
\begin{equation}
\sin A = \sin B = \sin C \tag{5}
\end{equation}のときで、式(4)は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{r} & \geqq & \frac{3}{2 \sin^2 A} \\
r & \leqq & \frac{2}{3} \, \sin^2 A \tag{6}
\end{eqnarray}となります。
式(5)とより、
\begin{equation}
A = B = C = \frac{\pi}{3}
\end{equation}となります。
このとき
\begin{equation}
\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \tag{7}
\end{equation}です。
したがって、式(6), (7)より
\begin{equation}
r \leqq \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}
\end{equation}を得ます。
よって、題意は証明されました。
解説
外接円が出てきたので、まず正弦定理が思い当たります。
また、内接円の半径は、三角形の3辺の長さと面積が分かると評価できます。
正弦定理と繋がると、三角形の面積が3内角で表現できるのが美しいです。
和と積が出てきたので相加平均と相乗平均の関係で処理しましたが、数が3つになっているのがひねってあるところです。
ちなみに、内接円の半径が最大になるのは正三角形の場合です。
