京大 1991年 前期 理系 第2問 その2

行列で表される1次変換をとする。

(1) による全平面の像は、直線であることを示せ。

(2) 平面上の点Pに対し、上の点でPとの距離が最小となる点をQとし、による像がQとなる点のうちで表す原点との距離が最小となる点をP'とする。P'の座標をで表せ。

(3) 点Pを点P'を対応させる写像をとする。合成写像およびを求めよ。

小問(1)の解答例

京大 1991年 前期 理系 第2問 その1 - 数式で独楽する

小問(2)の方針

小問(1)で、全平面が直線に移されることが分かっています。
点Pを通り直線に垂直な直線が、直線のと交わる点として点Qの座標を求めることができます。
ここでは、小問(1)のやり方に似せて進めていきます。

小問(2)の解答例

点Pを点Qに移す写像を考えます。点Qは、点Pから直線に下ろした垂線の足です。
この写像は、

• に平行な方向には伸びも縮みもしない。
• に垂直な方向には0倍に縮む(縮退する)。

ということになります。
つまり、この写像を表す行列をとすると、
\begin{equation}
S \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right) , \quad S \left( \begin{array}{r} 2 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \right)
\end{equation}を満たします。
まとめて書くと、
\begin{equation}
S \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{array} \right) \tag{2.1}
\end{equation}です。
式(2.1)の両辺にの逆行列を右から掛けると、
\begin{eqnarray}
S &=& \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{array} \right)^{-1} \\
&=& \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{array} \right)
\left[ \frac{1}{5} \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{array} \right) \right] \\
&=& \frac{1}{5} \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{array} \right)
\end{eqnarray}を得ます。
したがって、Pの像は
\begin{equation}
S \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
= \frac{1}{5} \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
= \frac{1}{5} \left( \begin{array}{c} x -2y \\ -2x +4y \end{array} \right)
\end{equation}なので、点Qの座標は
\begin{equation}
\mathrm{Q} \left( \frac{x -2y}{5}, \ \frac{-2x +4y}{5} \right)
\end{equation}となります。

一方、による像がQとなる点は上にあるため、原点に最も近い点は上になります。つまり、
\begin{equation}
y' = - x'
\end{equation}です。
点Pのによる像
\begin{equation}
A \left( \begin{array}{r} x' \\ -x' \end{array} \right)
= x' \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \right)
= x' \left( \begin{array}{r} 2 \\ -4 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{r} 2x' \\ -4x' \end{array} \right)
\end{equation}が点Qと一致します。
つまり、
\begin{eqnarray}
2x' &=& \frac{x -2y}{5} \\
-4x' &=& \frac{-2x +4y}{5}
\end{eqnarray}となります。
よって、
\begin{eqnarray}
x' &=& \frac{x -2y}{10} \\
y' &=& \frac{-x +2y}{10}
\end{eqnarray}を得ます。

小問(3)の解答例

さらに続きます。
京大 1991年 前期 理系 第2問 その3 - 数式で独楽する