京大 1991年前期理系第2問その3

行列 $\displaystyle \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{array} \right)$ で表される1次変換を $f$ とする。
(1) $f$ による全平面の像は、直線 $l: \ 2x+y=0$ であることを示せ。
(2) 平面上の点P $(x,y)$ に対し、 $l$ 上の点でPとの距離が最小となる点をQとし、 $f$ による像がQとなる点のうちで表す原点との距離が最小となる点をP'とする。P'の座標 $(x',y')$ を $x,y$ で表せ。
(3) 点P $(x,y)$ を点P' $(x',y')$ を対応させる写像を $g$ とする。合成写像 $f \circ g \circ f$ および $g \circ f \circ g$ を求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
小問(3)の補足

小問(1)の解答例

京大 1991年前期理系第2問その1 - 数式で独楽する

小問(2)の解答例

京大 1991年前期理系第2問その2 - 数式で独楽する
結果は次の通りです。
\begin{eqnarray}
x' &=& \frac{x -2y}{10} \\
y' &=& \frac{-x +2y}{10}
\end{eqnarray}

小問(3)の解答例

小問(2)の結果により、
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right)
= \frac{1}{10} \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
\end{equation}を得ます。
これより、1次変換 $g$ を表す行列 $B$ は、
\begin{equation}
B = \frac{1}{10} \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{array} \right)
\end{equation}となります。

したがって、 $f \circ g \circ f$ を表す行列は、
\begin{eqnarray}
ABA &=& \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{array} \right)
\left[ \frac{1}{10} \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \right]
\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{array} \right) \\
&=& \frac{1}{10} \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{rr} 5 & -5 \\ -5 & 5 \end{array} \right) \\
&=& \frac{1}{2} \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array} \right) \\
&=& \frac{1}{2} \left( \begin{array}{rr} 2 & -2 \\ -4 & 4 \end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{array} \right)
\end{eqnarray}となります。

また、 $g \circ f \circ g$ を表す行列は、
\begin{eqnarray}
BAB &=& \frac{1}{10} \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{array} \right)
\left[ \frac{1}{10} \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \right] \\
&=& \frac{1}{20} \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \\
&=& \frac{1}{20} \left( \begin{array}{rr} 2 & -4 \\ -2 & 4 \end{array} \right) \\
&=& \frac{1}{10} \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{array} \right)
\end{eqnarray}となります。