京大 1991年 前期 理系 第2問 その1

行列で表される1次変換をとする。

(1) による全平面の像は、直線であることを示せ。

(2) 平面上の点Pに対し、上の点でPとの距離が最小となる点をQとし、による像がQとなる点のうちで表す原点との距離が最小となる点をP'とする。P'の座標をで表せ。

(3) 点Pを点P'を対応させる写像をとする。合成写像およびを求めよ。

小問(1)の方針

座標平面上の任意のベクトルに対し、
\begin{equation}
\left( \begin{array}{rr}
1 & -1 \\
-2 & 2
\end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} x -y \\ -2x +2y \end{array} \right)
= (x -y) \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right)
\end{equation}なので、全平面のによる像は
\begin{equation}
l: \ 2x +y =0
\end{equation}となります。

ここでは、汎用性のある、別の言い方では使い回しのできる方法を志向します。
後述の方法だと、後々楽になります。

小問(1)の解答例

\begin{equation}
A = \left( \begin{array}{r}
1 & -1 \\
-2 & 2
\end{array} \right)
\end{equation}の特性方程式は
\begin{equation}
\lambda^2 - 3\lambda = 0
\end{equation}です*1。
これよりの固有値は
\begin{equation}
\lambda = 0,3
\end{equation}で、対応する固有ベクトルはそれぞれ
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right), \ \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right)
\end{equation}です。つまり、
\begin{equation}
A \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) = 0 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right), \quad A \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right) = 3 \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right) \tag{1.1}
\end{equation}となります。

さて、平面上の任意のベクトルは、定数を用いて
\begin{equation}
\vec{x} = p \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) + q \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right)
\end{equation}と表すことができます。
任意のベクトルのによる像は、
\begin{equation}
A \vec{x} = A \left \{ p \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) + q \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right) \right \} = 3q \left( \begin{array}{r} 1 \\ -2 \end{array} \right)
\end{equation}となります。つまり、
\begin{equation}
l: \ 2x +y = 0
\end{equation}となります。

小問(1)の補足

式(1.1)の意味するところは、により、

• は縮んで零ベクトルになる。
• は3倍に引き伸ばされる。

ということです。
言い換えると、平面上の点は

• (は定数)に沿って上に移動し、
• さらにに沿って3倍に引き伸ばされる

ことになります。
このことを踏まえておくと、次の小問(2)が楽になります。

小問(2)の解答例

京大 1991年 前期 理系 第2問 その2 - 数式で独楽する

小問(3)の解答例

続きます。
京大 1991年 前期 理系 第2問 その3 - 数式で独楽する

*1:\begin{equation} A \vec{x} = \lambda \vec{x} \end{equation}を満たすを求めます。このときを固有値、を固有ベクトルといいます。 \begin{equation} (A - \lambda I) \vec{x} = \vec{0} \end{equation}がなる解を持つ条件は、 \begin{equation} |A - \lambda I| =0 \end{equation}です。なお、は単位行列です。