京大 1991年前期理系第6問その4

関数 $y=f(x) \ (x \geqq 0)$ は次の条件①、②を満たしている。
①　 $f(x)$ は微分可能で $f'(x)$ は連続、かつ $f(x) > 0$
②　正の定数 $a$ があって $\displaystyle \int_0^x \bigl( f(t) \bigr)^{-a} dt = \int_a^{f(x)} \left( e^{- \frac{t^2}{2}} + t^{-a} \right) dt$
(1) ②の等式の両辺を $x$ について微分して得られる( $y$ の満たす)微分方程式を書け。また $f(0)$ の値を求めよ。
(2) 正の定数 $b,c$ があって次の不等式(イ)、(ロ)を満たしていることを示せ。
(イ)　 $b \leqq f'(x) \leqq 1$
(ロ)　 $\displaystyle 0 \leqq f(x) \left( \frac{1}{f'(x)} -1 \right) \leqq c$
(3) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f'(x)$ を求めよ。また $f'(x)$ の最小値を求めよ。

小問(1)の解答例・抄
小問(2)(イ)の解答例
小問(2)(ロ)の解答例
小問(3)の解答例
小問(3)の解説

続きです。

小問(1)の解答例・抄

京大 1991年前期理系第6問その1 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
y' &=& \frac{1}{y^a e^{- \frac{y^2}{2}} +1} \tag{1.1} \\
f(0) &=& a \tag{1.3}
\end{eqnarray}

小問(2)(イ)の解答例

京大 1991年前期理系第6問その2 - 数式で独楽する

小問(2)(ロ)の解答例

京大 1991年前期理系第6問その3 - 数式で独楽する

小問(3)の解答例

小問(2)(イ)より、 $y$ は単調増加であることが分かります。
しかも $0 < b \leqq y' \leqq 1$ なので、 $x \to \infty$ とすれば $y \to \infty$ となります。*1
\begin{equation}
\lim_{y \to \infty} y^a e^{- \frac{y^2}{2}} = 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} f'(x) = \lim_{y \to \infty} \frac{1}{y^a e^{- \frac{y^2}{2}} +1} =1
\end{equation}を得ます。

小問(2)(イ)の結果より、 $f'(x)$ の最小値は次のようになります。

$a \geqq 1$ の場合、
\begin{equation}
\frac{1}{g(a)} = \frac{1}{a^a e^{- \frac{a^2}{2}} +1}
\end{equation}
$a < 1$ の場合、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{g(\sqrt{a})} &=& \frac{1}{a^{a/2} e^{-a/2} +1} \\
&=& \cfrac{1}{\left( \sqrt{\cfrac{a}{e}} \right)^a +1}
\end{eqnarray}

小問(3)の解説

これまでの結果をまとめるのみです。

*1: $y$ の増加が止まらず、発散することになります。