関数のフーリエ変換を
\begin{equation}
\hat{f} \! (q)
\end{equation}とします。
複素共役(共軛)
\begin{equation}
\hat{\overline{f}}(q) = \overline{\hat{f} \! (q)}
\end{equation}
フーリエ変換の定義は、
\begin{equation}
\hat{f}\! (q) = \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, f(x) \tag{1}
\end{equation}です。
式(1)において、の値の複素共軛をとります。
\begin{equation}
\hat{\overline{f}}(q) = \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, \overline{f(x)} \tag{2}
\end{equation}を得ます。
一方、式(1)でとすると、
\begin{equation}
\hat{f} \! (-q) = \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{iqx} \, f(x)
\end{equation}となります。
さらに複素共軛をとると、
\begin{eqnarray}
\overline{\hat{f} \! (-q)} &=& \overline{\int_{-\infty}^\infty dx \, e^{iqx} \, f(x)} \\
&=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, \overline{f(x)} \tag{3}
\end{eqnarray}を得ます。
共軛複素数 - 数式で独楽する
共軛複素数 その2 - 数式で独楽する
式(2), (3)より、
\begin{equation}
\hat{\overline{f}}(q) = \overline{\hat{f} \! (-q)}
\end{equation}を得ます。
