交代行列

交代行列

転置行列が元の行列の$-$1倍となる行列を、「交代行列」といいます。「歪対称行列」、「反対称行列」ともいいます。
転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する

行列が交代行列の場合、
\begin{equation}
A^t = -A
\end{equation}を満たします。
転置に対して反対称性を持っています。
行列の成分は、
\begin{equation}
a_{ji} = -a_{ij}
\end{equation}を満たします。

交代行列の対角成分

交代行列の対角成分は0です。
対角成分についても
\begin{equation}
a_{ii} = -a_{ii}
\end{equation}なので、
\begin{equation}
a_{ii} =0
\end{equation}となります。

正方行列の分解

任意の正方行列$A$は、対称行列$S$と交代行列$T$の和で表すことができます。
\begin{equation}
A = S + T \tag{1}
\end{equation}の転置をとると
\begin{equation}
A^t = S - T \tag{2}
\end{equation}となります。

式(1), (2)より、
\begin{eqnarray}
S &=& \frac{1}{2}(A + A^t) \tag{3} \\
T &=& \frac{1}{2}(A - A^t) \tag{4}
\end{eqnarray}を得ます。

逆に、式(3), (4)で対称行列$S$と交代行列$T$を定めると、
\begin{equation}
A = S + T \tag{1}
\end{equation}とすることができます。

なお、式(3), (4)で定めた行列$S, T$は、
\begin{eqnarray}
S^t &=& \frac{1}{2} \left( A^t + (A^t)^t \right) &=& \frac{1}{2}(A^t + A) &=& S \\
T^t &=& \frac{1}{2} \left( A^t - (A^t)^t \right) &=& \frac{1}{2}(A^t - A) &=& -T
\end{eqnarray}を満たしており、それぞれ対称行列、交代行列となっています。