2024年東北大理系第3問その1

$n$ を2以上の整数とする。
それぞれA, A, Bと書かれた3枚のカードから無作為に1枚抜き出し、カードをもとに戻す試行を考える。この試行を $n$ 回繰り返し、抜き出したカードの文字を順に左から右に並べ、 $n$ 文字の文字列を作る。作った文字列内にAAAの並びがある場合は不可とする。また、作った文字列内にBBの並びがある場合も不可とするこれらの場合以外は可とする。たとえば $n = 6$ のとき、文字列AAAABAやABBBAAやABBABBやBBBAAAなどは不可で、文字列BABAABやBABABAなどは可である。作った文字列が可でかつ右端の2文字がAAである確率を $p_n$ 、作った文字列が可でかつ右端の2文字がBAである確率を $q_n$ 、作った文字列が可でかつ右端の文字がBである確率を $r_n$ とそれぞれおく。
(1) $p_2, \ q_2, \ r_2$ をそれぞれ求めよ。また、 $p_{n +1}, \ q_{n +1}, \ r_{n +1}$ を $p_n, \ q_n, \ r_n$ を用いてそれぞれ表せ。
(2) $p_n +2q_n +r_n$ を $n$ を用いて表せ。
(3) $p_n +iq_n -(1 +i)r_n$ を $n$ を用いて表せ。ただし $i$ は虚数単位である。
(4) $p_n = r_n$ を満たすための $n$ の必要十分条件を求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
小問(4)の解答例
解説

小問(1)の解答例

作った文字列が不可となる確率を $s_n$ とします。

(i) $n = 2$ のとき
作られる文字列とその確率は次の表の通りです。

文字列	確率
AA	$\left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$
AB	$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$
BA	$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$
BB	$\left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}$

したがって、
\begin{eqnarray}
s_2 &=& \frac{1}{9} \\
p_2 &=& \frac{4}{9} \tag{1} \\
q_2 &=& \frac{2}{9} \tag{2} \\
r_2 &=& \frac{2}{9} \tag{3}
\end{eqnarray}となります。(答)

(ii) $n \geqq 3$ のとき
$n$ 文字の文字列のそれぞれのパターンについて、 $n +1$ 文字目がA, Bであったときにどのようになるかをまとめると、次の通りになります。

	A	B
AA	不可	B
BA	AA	B
B	BA	不可
不可	不可	不可

よって、
\begin{eqnarray}
s_{n +1} &=& \frac{2}{3} \, p_n +\frac{1}{3} \, q_n +s_n \\
p_{n +1} &=& \frac{2}{3} \, q_n \tag{4} \\
q_{n +1} &=& \frac{1}{3} \, r_n \tag{5} \\
r_{n +1} &=& \frac{1}{3} \, p_n +\frac{1}{3} \, q_n \tag{6}
\end{eqnarray}を得ます。(答)

小問(2)の解答例

式(4)～(6)より、
\begin{eqnarray}
p_{n +1} +2q_{n +1} +2r_{n +1} &=& \frac{2}{3} \, p_n +\frac{4}{3} \, q_n +\frac{4}{3} \, r_n \\
&=& \frac{2}{3} (p_n +2q_n +2r_n)
\end{eqnarray}となります。
式(1)～(3)も合わせ、
\begin{eqnarray}
p_n +2q_n +2r_n &=& \frac{2}{3} (p_{n -1} +2q_{n -1} +r_{n -1}) \\
& \vdots & \\
&=& \left( \frac{2}{3} \right)^{n -2} (p_2 +2q_2 +2r_2) \\
&=& \frac{12}{9} \left( \frac{2}{3} \right)^{n -2} \\
&=& 3 \left( \frac{2}{3} \right)^n \tag{7}
\end{eqnarray}を得ます。(答)

小問(3)の解答例

式(4)～(6)より、
\begin{eqnarray}
p_{n +1} +iq_{n +1} -(1 +i)r_{n +1} &=& \frac{2}{3} \, q_n +\frac{2i}{3} \, r_n -\frac{1 +i}{3}\, p_n -\frac{1 +i}{3} \, q_n \\
&=& -\frac{1 +i}{3} \, p_n +\frac{1 -i}{3} \, q_n +\frac{2i}{3} \, r_n \\
&=& -\frac{1 +i}{3} \left \{ p_n +iq_n -(1 +i)r_n \right \}
\end{eqnarray}となります。
なお、
\begin{eqnarray}
\frac{1 -i}{1 +i} &=& \frac{(1 -i)^2}{2} &=& -i \\
\frac{2i}{1 +i} &=& i(1 -i) &=& 1 +i
\end{eqnarray}です。

式(1)～(3)も合わせ、
\begin{eqnarray}
p_n +iq_n -(1 +i)r_n &=& -\frac{1 +i}{3} \left \{ p_{n -1} +iq_{n -1} -(1 +i)r_{n -1} \right \} \\
& \vdots & \\
&=& \left( -\frac{1 +i}{3} \right)^{n -2} \left \{ p_2 +iq_2 -(1 +i)r_2 \right \} \\
&=& \frac{2}{9} \left( -\frac{1 +i}{3} \right)^{n -2} \tag{8}
\end{eqnarray}を得ます。(答)