本稿では、対角化の具体例を見ていきます。
行列の対角化 - 数式で独楽する
\begin{equation}
A = \left( \begin{array}{rrr}
1 & 1 & 3 \\
1 & 5 & 1 \\
3 & 1 & 1
\end{array} \right)
\end{equation}を対角化します。行列$A$は対称行列です。
対称行列とエルミート行列 - 数式で独楽する
まず、固有値・固有ベクトルは
\begin{eqnarray}
\lambda=-2, & \quad & \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \\
\lambda=3, & \quad & \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right) \\
\lambda=6, & \quad & \frac{1}{\sqrt{6}} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)
\end{eqnarray}です。
固有ベクトルは大きさが1で、互いに直交しています。
固有値・固有ベクトルの実演 その3 - 数式で独楽する
固有ベクトルを横に並べて行列$P$
\begin{equation}
P = \left( \begin{array}{rrr}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}
\end{array} \right)
\end{equation}を作ります。
$P$は直交行列なので、転置をとると逆行列を得ます。
\begin{equation}
P^{-1} = \left( \begin{array}{rrr}
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}}
\end{array} \right)
\end{equation}です。
直交行列 - 数式で独楽する
直交行列 その2 - 数式で独楽する
これより、
\begin{eqnarray}
P^{-1} AP &=& \left( \begin{array}{rrr}
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}}
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr}
1 & 1 & 3 \\
1 & 5 & 1 \\
3 & 1 & 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}
\end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{rrr}
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}}
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr}
-\frac{2}{\sqrt{2}} & \frac{3}{\sqrt{3}} & \frac{6}{\sqrt{6}} \\
0 & -\frac{3}{\sqrt{3}} & \frac{12}{\sqrt{6}} \\
\frac{2}{\sqrt{2}} & \frac{3}{\sqrt{3}} & \frac{6}{\sqrt{6}}
\end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{rrr}
-2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 6
\end{array} \right)
\end{eqnarray}となります。
