次の2つの条件を同時に満たす四角形のうち、面積が最小のものの面積を求めよ。
(a) 少なくとも2つの内角が90°である。
(b) 半径1の円が内接する。ただし円が四角形に内接するとは、円が四角形の4つの辺のすべてに接することをいう。
解答例
- 4辺AB, BC, CD, DAと内接円の接点をそれぞれE, F, G, H
- 内接円の中心をO
とします。
四角形ABCDについて、
- ∠A=90°としても一般性を失いません。
- ∠Bと∠Dは、どちらを90°としても同じです。
したがって、∠B=90°の場合と∠C=90°の場合のそれぞれについて考えます。
\begin{equation}
\angle \mathrm{DOH} = \theta \quad (0 < \theta < 90^\circ)
\end{equation}とします。
∠B=90°の場合
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{COF} &=& 90^\circ -\theta \\
\mathrm{DH} &=& \tan \theta \\
\mathrm{CF} &=& \tan (90^\circ -\theta) = \frac{1}{\tan \theta}
\end{eqnarray}なので、Oと接点を結ぶ線分で分割されてできた四角形の面積は、
\begin{eqnarray}
\mathrm{AEOH} &=& 1 \\
\mathrm{BFOE} &=& 1 \\
\mathrm{DHOG} &=& \tan \theta \\
\mathrm{CGOF} &=& \frac{1}{\tan \theta}
\end{eqnarray}となります。
∠C=90°の場合
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{BO F} &=& 90^\circ -\theta \\
\mathrm{DH} &=& \tan \theta \\
\mathrm{BE} &=& \tan (90^\circ -\theta) = \frac{1}{\tan \theta}
\end{eqnarray}なので、Oと接点を結ぶ線分で分割されてできた四角形の面積は、
\begin{eqnarray}
\mathrm{AEOH} &=& 1 \\
\mathrm{CGOF} &=& 1 \\
\mathrm{DFOG} &=& \tan \theta \\
\mathrm{BFOE} &=& \frac{1}{\tan \theta}
\end{eqnarray}となります。
まとめ
どちらの場合でも、四角形ABCDの面積は
\begin{equation}
\mathrm{ABCD} = 2 +\tan \theta +\frac{1}{\tan \theta}
\end{equation}となります。
相加平均と相乗平均の関係より、
\begin{equation}
\mathrm{ABCD} \geqq 2 +2\sqrt{\tan \theta \cdot \frac{1}{\tan \theta}} =4
\end{equation}を得ます。
相加平均、相乗平均、調和平均の関係 - 数式で独楽する
以上より、四角形の面積の最小値は4となります。*1
解説
四角形の面積の出し方が鍵になります。
内接円の中心と接点を結ぶ線分で四角形の4分割すると、そのうち2が1辺の長さが1の正方形になります。
あとの2つも面積を出すのは容易です。
*1:等号成立は、 \begin{eqnarray} \tan \theta &=& \frac{1}{\tan \theta} \\ \tan^2 \theta &=& 1 \\ \tan\theta &=& 1 \quad (\because \tan \theta > 0) \\ \therefore \quad \theta &=& 45^\circ \end{eqnarray}のとき、すなわち正方形のときです。
