$i$を虚数単位とし、
とおく。また$n$はすべての自然数にわたって動くとする。このとき、
(1)は何個の異なる値をとり得るか。
(2)の値を求めよ。
小問(2)ですが、工夫すれば誘導がなくても解けそうです。
本稿では、因数分解を使っていきます。
解答例
\begin{eqnarray}
&& a = e^{\pi i/3} \\
&& a^3 = -1 \\
&& a^6 = 1 \\
&& 1 + a^2 + a^4 = 0 \\
&& 1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 = 0
\end{eqnarray}です。
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する
これより、
\begin{eqnarray}
\frac{1 -a^{3n}}{1 -a^3} &=& 1 + a^3 + a^6 + \cdots + a^{3(n -1)} \\
&=& \left \{ \begin{array}{ll}
0 & (\mbox{if $n$ is even}(n \equiv 0,2,4 \mod 6)) \\
1 & (\mbox{if $n$ is odd}(n \equiv 1,3,5 \mod 6))
\end{array} \right. \tag{1}
\end{eqnarray}です。
また、
\begin{eqnarray}
\frac{1 - a^{2n}}{1 - a^2} &=& 1 + a^2 + a^4 + \cdots + a^{2(n -1)} \\
&=& \left \{ \begin{array}{ll}
0 & (\mbox{if}\ \ n \equiv 0 \mod 3) \\
1 & (\mbox{if}\ \ n \equiv 1 \mod 3) \\
a & (\mbox{if}\ \ n \equiv 2 \mod 3)
\end{array} \right. \\
\frac{1 - a^{4n}}{1 - a^4} &=& \frac{1 - a^{-2}}{1 - a^{-2}} \\
&=& 1 + a^{-2} + a^{-4} + \cdots + a^{-2(n -1)} \\
&=& \left \{ \begin{array}{ll}
0 & (\mbox{if}\ \ n \equiv 0 \mod 3) \\
1 & (\mbox{if}\ \ n \equiv 1 \mod 3) \\
a^{-1} & (\mbox{if}\ \ n \equiv 2 \mod 3)
\end{array} \right.
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\frac{(1 - a^{2n})(1 - a^{4n})}{(1 - a^2)(1 - a^4)} = \left \{ \begin{array}{ll}
0 & (\mbox{if} \ \ n \equiv 0 \mod 3 \ (n \equiv 0,3 \mod 6)) \\
1 & (\mbox{if} \ \ n \equiv 1,2 \mod 3 \ (n \equiv 1,2,4,5 \mod 6))
\end{array} \right. \tag{2}
\end{equation}となります。
さらに、
\begin{eqnarray}
\frac{1 - a^n}{1 - a} &=& 1 + a + a^2 + \cdots + a^{n -1} \\
&=& \left \{ \begin{array}{ll}
1 & (\mbox{if}\ \ n \equiv 1 \mod 6) \\
a^2 & (\mbox{if}\ \ n \equiv 5 \mod 6)
\end{array} \right. \\
\frac{1 - a^{5n}}{1 - a^5} &=& \frac{1 - a^{-1}}{1 - a^{-1}} \\
&=& 1 + a^{-1} + a^{-2} + \cdots + a^{-(n -1)} \\
&=& \left \{ \begin{array}{ll}
1 & (\mbox{if}\ \ n \equiv 1 \mod 6) \\
a^{-2} & (\mbox{if}\ \ n \equiv 5 \mod 6)
\end{array} \right.
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\frac{(1 - a^n)(1 - a^{5n})}{(1 - a)(1 - a^5)} = 1 \quad (\mbox{if} \ \ n \equiv 1,5 \mod 6) \tag{3}
\end{equation}となります。
なお、の場合は式(1), (2)の値が0になるので、ここでは省いています。
式(1)~(3)より、
\begin{equation}
\frac{(1-a^n)(1-a^{2n})(1-a^{3n})(1-a^{4n})(1-a^{5n})}{(1-a)(1-a^2)(1-a^3)(1-a^4)(1-a^5)}
= \left \{ \begin{array}{ll}
0 & (\mbox{if} \ \ n \equiv 0,2,3,4 \mod 6) \\
1 & (\mbox{if} \ \ n \equiv 1,5 \mod 6)
\end{array} \right.
\end{equation}を得ます。
解説
因数分解
\begin{equation}
1 -a^n = (1 - a)(1 + a + a^2 + \cdots + a^{n -1})
\end{equation}を用いると分母が約分で消えてくれます。
解答例冒頭の関係もあり、約分の後は高々6つの項しか残りません。
そこまで来れば、計算は容易です。
