2005年前期京大理系第4問 - 数式で独楽する

$a^3 -b^3 = 217$ を満たす整数の組 $(a,b)$ をすべて求めよ。

解答例
解説

解答例

\begin{eqnarray}
a^3 -b^3 &=& (a -b)(a^2 +ab +b^2) \\
217 &=& 7 \times 31
\end{eqnarray}なので、 $a -b, \ a^2 +ab +b^2 = (a -b)^2 +3ab$ の組合せは
\begin{array}{|c|cccc|}
\hline
a -b & 1 & 7 & 31 & 217 \\ \hline
a^2 +2ab +b^2 & 217 & 31 & 7 & 1 \\ \hline
\end{array}のみとなります。

(i) $a -b = 1, \ a^2 +ab +b^2 = 217$ の場合
\begin{eqnarray}
3ab &=& 216 \\
ab &=& 72 \\
a(a -1) &=& 72 \\
a^2 -a -72 &=& 0 \\
(a -9)(a +8) &=& 0 \\
a &=& 9, -8
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
(a, b) = (9, 8), \ (-8, -9)
\end{equation}を得ます。

(ii) $a -b = 7, \ a^2 +ab +b^2 = 31$ の場合
\begin{eqnarray}
3ab &=& -18 \\
ab &=& -6 \\
a(a -7) &=& -6 \\
a^2 -7a +6 &=& 0 \\
(a -1)(a -6) &=& 0 \\
a &=& 1, 6
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
(a, b) = (1, -6), \ (6, -1)
\end{equation}を得ます。

(iii) $a -b = 31, \ a^2 +ab +b^2 = 7$ の場合
\begin{eqnarray}
3ab &=& -954 \\
ab &=& -318 \\
a(a -31) &=& -318 \\
a^2 -31a +318 &=& 0
\end{eqnarray}です。
\begin{equation}
a^2 -31a +318 = \left( a -\frac{31}{2} \right)^2 +\frac{311}{4} > 0
\end{equation}なので、方程式を満たす $a$ は存在しません。

(iv) $a -b = 217, \ a^2 +ab +b^2 = 1$ の場合
\begin{eqnarray}
3ab &=& -47088 \\
ab &=& -15686 \\
a(a -217) &=& -15686 \\
a^2 -217a +15686 &=& 0
\end{eqnarray}です。
\begin{equation}
a^2 -217a +15696 = \left( a -\frac{217}{2} \right)^2 +\frac{15695}{4}> 0
\end{equation}なので、方程式を満たす $a$ は存在しません。