$xy$平面上の6個の点(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)が図のように長さ1の線分で結ばれている。動点Xは、これらの点を次の規則に従って1秒ごとに移動する。
規則: 動点Xは、そのときに位置する点から出る長さ1の線分によって結ばれる図の点のいずれかに等しい確率で移動する。
たとえばXが(2, 0)にいるときは、(1, 0), (2, 1)のいずれかにの確率で移動する。またXが(1, 1)にいるときは、(0, 1), (1, 0), (2, 1)のいずれかに
の確率で移動する。
時刻0で動点XがO=(0, 0)から出発するとき、$n$秒後にXの$x$座標が0である確率を求めよ。ただし、$n$は0以上の整数とする。
解答例
$n$秒後にXの$x$座標が$k$になる確率をとすると、以下の式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
p_{0,0} &=& 1 \tag{1} \\
p_{0,1} &=& 0 \tag{2} \\
p_{0,2} &=& 0 \tag{3} \\
p_{n+1,0} &=& \frac{1}{2} \, p_{n,0} \ +& \frac{1}{3} \, p_{n,1} \tag{4} \\
p_{n+1,1} &=& \frac{1}{2} \, p_{n,0} \ +& \frac{1}{3} \, p_{n,1} + \frac{1}{2} \, p_{n,2} \tag{5} \\
p_{n+1,2} &=& &\frac{1}{3} \, p_{n,1} + \frac{1}{2} \, p_{n,2} \tag{6} \\
p_{n,0} + p_{n,1} \ + p_{n,2} &=& 1 \tag{7}
\end{eqnarray}
式(1), (3), (4), (6)より、
\begin{eqnarray}
p_{n+1,0} - p_{n+1,2} &=& \frac{1}{2} \, (p_{n,0} -p_{n,2}) \\
p_{n,0} -p_{n,2} &=& \left( \frac{1}{2} \right)^n (p_{0,0} -p_{0,2}) = \left( \frac{1}{2} \right)^n \tag{8}
\end{eqnarray}を得ます。
また、式(2), (5), (7)より、
\begin{eqnarray}
p_{n+1,1} &=& \frac{1}{2} \, (1 -p_{n,1}) +\frac{1}{3} \, p_{n,1} \\
&=& -\frac{1}{6} \, p_{n,1} +\frac{1}{2} \\
p_{n+1,1} -\frac{3}{7} &=& -\frac{1}{6} \left( p_{n,1} -\frac{3}{7} \right) \\
p_{n,1} -\frac{3}{7} &=& \left( -\frac{1}{6} \right)^n \left( p_{0,1} -\frac{3}{7} \right) = \left( -\frac{1}{6} \right)^n \left( -\frac{3}{7} \right) \\
p_{n,1} &=& \frac{3}{7} - \frac{3}{7} \left( -\frac{1}{6} \right)^n
\end{eqnarray}となります。これより、
\begin{equation}
p_{n,0} +p_{n,2} = 1 -p_{n,1} = \frac{4}{7} + \frac{3}{7} \left( -\frac{1}{6} \right)^n \tag{9}
\end{equation}を得ます。
式(8), (9)を再掲します。
\begin{eqnarray}
p_{n,0} -p_{n,2} &=& \left( \frac{1}{2} \right)^n \tag{8} \\
p_{n,0} +p_{n,2} &=& \frac{4}{7} + \frac{3}{7} \left( -\frac{1}{6} \right)^n \tag{9}
\end{eqnarray}これより、求める確率は、
\begin{equation}
p_{n,0} = \frac{2}{7} + \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1} + \frac{3}{14} \left( -\frac{1}{6} \right)^n
\end{equation}となります。
解説
確率と漸化式を組み合わせた問題です。確率と漸化式は親和性が非常に高いです。
ある時間の状態と次の時間の状態の関係を、漸化式に落とし込むことになります。
連立の漸化式ですが、工夫して文字を減らしていけば解くことができます。
なお、あと1つは
\begin{equation}
p_{n,2} = \frac{2}{7} - \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1} + \frac{3}{14} \left( -\frac{1}{6} \right)^n
\end{equation}です。
