京大2015年理系第3問 - 数式で独楽する

(1) $a$ を実数とするとき、 $(a,0)$ を通り、 $y=e^x +1$ に接する直線がただ1つ存在することを示せ。
(2) $a_1=1$ として、 $n=1,2, \cdots$ について $(a_n, 0)$ を通り、 $y=e^x+1$ に接する直線の接点の $x$ 座標を $a_{n+1}$ とする。このとき $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} -a_n)$ を求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

$f(x)=e^x +1$ に対し $f'(x)=e^x$ なので、 $y=e^x+1$ 上の点 $(t, e^t+1)$ における接線は、
\begin{equation}
y = e^t (x -t) +e^t +1
\end{equation}です。これが $(a,0)$ を通るので、
\begin{equation}
0 = e^t (a -t) +e^t +1
\end{equation}が成り立ちます。整理すると
\begin{equation}
a = -1 -e^{-t} +t
\end{equation}となります。
右辺は $t$ について単調増加で
\begin{eqnarray}
\lim_{x \to \infty} a &=& +\infty \\
\lim_{x \to -\infty} a &=& -\infty
\end{eqnarray}なので、任意の $t$ に対し、 $-\infty < a < \infty$ はただ1つ存在します。
つまり、任意の実数 $a$ に対し、 $t$ はただ1つ存在し、接線はただ1つ存在します。(証明終わり)

小問(2)の解答例

小問(1)の結果より、
\begin{eqnarray}
a_n &=& -1 -e^{a_{n+1}} +a_{n+1} \\
a_{n+1} -a_n &=& 1 +e^{-a_{n+1}} >1
\end{eqnarray}が成り立ちます。
これより、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} a_n = \infty
\end{equation}を得ます。

よって、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} (a_{n+1} -a_n) = \lim_{n \to \infty} (1 +e^{-a_{n+1}}) =1
\end{equation}となります。