2022年 東大 理科 第4問

座標平面上の曲線
\begin{equation}
C: \quad y = x^3 -x
\end{equation}を考える。

(1) 座標平面上のすべての点Pが次の条件(i)を満たすことを示せ。

(i) 点Pを通る直線で、曲線と相異なる3点で交わるものが存在する。

(2) 次の条件(ii)を満たす点Pのとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。

(ii) 点Pを通る直線で、曲線と相異なる3点で交わり、かつ、直線と曲線で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるものが存在する。

小問(1)の解答例

より
\begin{equation}
y' = 3x^2 -1
\end{equation}です。

変数を定めます。
曲線上の点における接線は
\begin{eqnarray}
y &=& (3s^2 -1)(x -s) +s^3 -s \\
&=& (3s^2 -1) \, x -2s^3
\end{eqnarray}です。
点における接線は
\begin{equation}
y = (3s^2 -1) \, s +2s^3
\end{equation}です。

これより、
\begin{equation}
(3s^2 -1) \, x -2s^3 < y < (3s^2 -1) \, x +2s^3
\end{equation}で表される領域にある点から傾きの直線を引くと、曲線と相異なる3点で交わります。

とすると領域の方向の幅も
\begin{equation}
4s^3 \to \infty
\end{equation}となり、領域は座標平面全体を覆うことになります。
よって、座標平面上の全ての点Pは、条件(i)を満たします。(証明終わり)

小問(2)の解答例

小問(1)の過程により、
\begin{eqnarray}
l: \quad y &=& (3s^2 -1) \, x +t \\
&& (s > 0, \ -2s^3 < t < 2s^3)
\end{eqnarray}で表される直線は、曲線と相異なる3点で交わります。

曲線が原点で対称であることを考慮します。とすると、直線と曲線で囲まれた2つの部分の面積は等しくなります。
つまり、
\begin{equation}
y = (3s^2 -1) \, x
\end{equation}上の点は、条件(ii)を満たします。

変数を変化させると、求める範囲を得ることができます。
傾きは表のように変化します。
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
s & 0 & \to & \infty \\ \hline
3s^2 -1 & -1 & \to & \infty \\ \hline
\end{array}
よって、求める範囲は
\begin{equation}
x(x +y) > 0
\end{equation}で、原点を含みます。
図示すると、図の破線で区切った着色部です。

解説

条件(i)は、3次方程式が相異なる3実数解を持つ、ということと同義です。
適当な直線をあてがってみましたが、頓挫しました。
平行な接線を2本引くと、両者に挟まれる平行線は交点を3つ持ちます。この筋が一番分かり易いです。
条件(ii)は図形の対称性を利用しています。実際に直線と曲線で囲まれた部分の面積を求めようとして、こちらも頓挫しました。