本稿では、
が正の整数ならば、
\begin{equation}
\int_{-L}^L \cos \frac{m \pi x}{L} \, \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx = \left \{ \begin{array}{ll}
L & (m=n) \\
0 & (m \ne n)
\end{array} \right. \\
\end{equation}
を確認していきます。
の場合、
\begin{eqnarray}
\int_{-L}^L \cos \frac{n \pi x}{L} \, \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx
&=& \frac{1}{2} \int_{-L}^L \left( \cos \frac{2n \pi x}{L} +1 \right) \, dx \\
&=& \frac{1}{2} \left[ \frac{L}{2n \pi} \sin \frac{2n \pi}{L} +x \right]_{-L}^L \\
&=& L
\end{eqnarray}となります。
途中、倍角の公式を用いています。
倍角の公式 - 数式で独楽する
の場合、
\begin{eqnarray}
\int_{-L}^L \cos \frac{m \pi x}{L} \, \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx
&=& \frac{1}{2} \int_{-L}^L \left \{ \cos \frac{(m+n) \pi x}{L} +\cos \frac{(m -n) \pi x}{L} \right \} \, dx \\
&=& \frac{1}{2} \left[ \frac{L}{(m+n) \pi} \, \sin \frac{(m+n) \pi x}{L} +\frac{L}{(m -n) \pi} \, \sin \frac{(m -n) \pi x}{L} \right]_{-L}^L \\
&=& 0
\end{eqnarray}となります。
こちらは和積の公式です。
和積の公式 - 数式で独楽する
以上より、
\begin{equation}
\int_{-L}^L \cos \frac{m \pi x}{L} \, \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx = \left \{ \begin{array}{ll}
L & (m=n) \\
0 & (m \ne n)
\end{array} \right.
\end{equation}となります。
