東工大1993年前期第4問 - 数式で独楽する

$n$ を自然数、 $P(x)$ を $n$ 次の多項式とする。 $P(0), \ P(1), \ \cdots , \ P(n)$ が整数ならば、すべての整数 $k$ に対し、 $P(k)$ は整数であることを示せ。

解答例
解説

解答例

ここでは、以下の命題Aを証明することで題意を証明することとします。

【命題A】
自然数 $n$ と $n$ 次の多項式 $P_n(x)$ に対し、 $P_n(0), \ P_n(1), \ \cdots , \ P_n(n)$ が整数ならば、全ての整数 $k$ に対し、 $P_n(k)$ は整数である。

ことを、数学的帰納法で証明します。
整数の集合を $\mathbb{Z}$ で表すこととします。

$n=1$ の場合、1次式
\begin{equation}
P_1(x) = \left \{ P_1(1) -P_1(0) \right \} x +P_1(0)
\end{equation}において
\begin{equation}
P_1(0), \ P_1(1) \in \mathbb{Z}
\end{equation}ならば、全ての整数 $k$ に対し
\begin{equation}
P_1(k) = \left \{ P_1(1) -P_1(0) \right \} k +P_1(0) \in \mathbb{Z}
\end{equation}となります。
よって $n=1$ の場合に命題Aは成り立ちます。

$n=m$ の場合に命題Aが成り立つと仮定します。すなわち、 $m$ 次の多項式 $P_m(x)$ に対し、
\begin{equation}
P_m(0), \ P_m(1), \ \cdots, \ P_m(m) \in \mathbb{Z}
\end{equation}ならば、全ての整数 $k$ に対し
\begin{equation}
P_m(k) \in \mathbb{Z}
\end{equation}が成り立つと仮定します。

ここで、
\begin{equation}
P_{m+1}(x) = (x -m -1) P_m(x) +P_{m+1}(m+1)
\end{equation}とします。
\begin{equation}
P_{m+1}(m+1) \in \mathbb{Z}
\end{equation}ならば
\begin{eqnarray}
P_{m+1}(0) &=& -(m+1)P_m(0) +P_{m+1}(m+1) \in \mathbb{Z} \\
P_{m+1}(1) &=& -m P_m(1) +P_{m+1}(m+1) \in \mathbb{Z} \\
& \vdots & \\
P_{m+1}(m) &=& -P_m(m) +P_{m+1}(m+1) \in \mathbb{Z}
\end{eqnarray}です。
このとき、全ての整数 $k$ に対し、
\begin{equation}
P_{m+1}(k) = (k -m -1) P_m(k) +P_{m+1}(m+1) \in \mathbb{Z} \quad (\because P_m(k) \in \mathbb{Z})
\end{equation}となります。

つまり、 $m+1$ 次の多項式 $P_{m+1}(x)$ に対し、
\begin{equation}
P_{m+1}(0), \ P_{m+1}(1), \ \cdots, \ P_{m+1}(m+1) \in \mathbb{Z}
\end{equation}ならば、全ての整数 $k$ に対し
\begin{equation}
P_{m+1}(k) \in \mathbb{Z}
\end{equation}が成り立つ、すなわち $n=m+1$ の集合も命題Aが成り立つことが示されます。

以上より、全ての自然数 $n$ に対し命題Aが成り立つことが示されました。
よって題意は示されました。

解説

名大1997年理系第4問選択(b) - 数式で独楽する
を一般化したものです。
一般化することで難易度が格段に上がっています。
解き方はいろいろあるのでしょうが、本稿では数学的帰納法を用いています。

本稿では $m+1$ 次式を $m$ 次式で定めることで $P_{m+1}(0), \ P_{m+1}(1), \ \cdots, \ P_{m+1}(m) \in \mathbb{Z}$ を実現しています。それに $P_{m+1}(m+)1 \in \mathbb{Z}$ を付け加える形にしています。
なお、

$P_1(0), P_1(1) \in \mathbb{Z}$ は任意
$P_2(0), P_2(1) \in \mathbb{Z}$ は $P_1(0), P_1(1)$ で規定、 $P_2(2) \in \mathbb{Z}$ は任意
$\vdots$
$P_m(0), \cdots, P_m(m -1) \in \mathbb{Z}$ は $P_{m -1}(0), \cdots, P_{m -1}(m -1)$ で規定、 $P_m(m) \in \mathbb{Z}$ は任意
$P_{m+1}(0), \cdots, P_{m+1}(m) \in \mathbb{Z}$ は $P_m(0), \cdots, P_m(m)$ で規定、 $P_{m+1}(m+1) \in \mathbb{Z}$ は任意

となるので、 $P_{m+1}(0), \cdots, P_{m+1}(m+1) \in \mathbb{Z}$ の任意性は担保されているはずです。