ディラックのデルタ関数は
\begin{equation}
\delta (x) = \left \{ \begin{array}{cl}
0 & (x \ne 0) \\
\infty & (x = 0)
\end{array} \right.
\end{equation}
というもので、
\begin{eqnarray}
&& \int_{-\infty}^\infty \delta (x) \, dx = 1 \\
&& \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta (x -a) \, dx = f(a)
\end{eqnarray}なる性質を満たします。
次の関数
\begin{equation}
\hat{\delta}_\epsilon (q) = e^{-\epsilon |q|}
\end{equation}のフーリエ逆変換を考えます。
\begin{eqnarray}
\delta_\epsilon (x) &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty d q \, e^{iqx} \, e^{-\epsilon |q|} \\
&=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty d q \ e^{iqx -\epsilon |q|} \\
&=& \frac{1}{2\pi} \left( \int_0^\infty d q \ e^{(ix -\epsilon)q} +\int_{-\infty}^0 d q \, e^{(ix +\epsilon)q} \right) \\
&=& \frac{1}{2\pi} \left( \left[ \frac{e^{(ix -\epsilon)q}}{ix -\epsilon} \right]_0^\infty +\left[ \frac{e^{(ix +\epsilon)q}}{ix +\epsilon} \right]_{-\infty}^0 \right) \\
&=& \frac{1}{2\pi} \left( \frac{1}{\epsilon -ix} +\frac{1}{\epsilon +ix} \right) \\
&=& \frac{1}{\pi} \frac{\epsilon}{x^2 +\epsilon^2}
\end{eqnarray}となります。
これより、
\begin{equation}
\delta_\epsilon (x) = \int_{-\infty}^\infty d q \ e^{iqx -\epsilon|q|}
\end{equation}を得ます。
したがって、
\begin{equation}
\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \delta_\epsilon (x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty d q \ e^{iqx}
\end{equation}を得ます。
