2000年前期京大理系第6問その2

$n,k$ は整数で、 $n \geqq 2, \ 0 \leqq k \leqq 4$ とする。サイコロを $n$ 回投げて出た目の和を5で割った余りが $k$ になる確率を $p_n (k)$ とする。
(1) $p_{n +1}(0), \cdots, p_{n +1}(4)$ を $p_n (0), \cdots, p_n (4)$ を用いて表せ。
(2) $p_n (0), \cdots, p_n (4)$ の最大値を $M_n$ 、最小値を $m_n$ とするとき、次の(イ)、(ロ)が成立することを示せ。
(イ) $\displaystyle m_n \leqq \frac{1}{5} \leqq M_n$
(ロ) 任意の $k,l \ (0 \leqq k,l \leqq 4)$ に対し、 $p_{n +1}(k) -p_{n +1}(l) \leqq \displaystyle \frac{1}{6} \, (M_n -m_n)$
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n (k)$ を求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)(イ)の解答例
小問(2)(ロ)の解答例
小問(3)の解答例
解説

小問(1)の解答例

2000年前期京大理系第6問その1 - 数式で独楽する

小問(2)(イ)の解答例

$k = 0,1,2,3,4$ に対し、
\begin{equation}
m_n \leqq p_n (k) \leqq M_n
\end{equation}です。和をとると
\begin{equation}
5m_n \leqq 1 \leqq 5M_n
\end{equation}つまり
\begin{equation}
m_n \leqq \frac{1}{5} \leqq M_n
\end{equation}を得ます。(証明終わり)

小問(2)(ロ)の解答例

(i) $k = l$ の場合
\begin{equation}
p_{n +1}(k) -p_{n +1}(l) = 0
\end{equation}は題意を満たします。

(ii) $k \ne l$ の場合
小問(1)の結果により、
\begin{equation}
p_{n +1}(k) -p_{n +1}(l) = \frac{1}{6} \, \left \{ p_n (K) -p_n (L) \right \} \tag{1}
\end{equation}を満たす $0 \leqq K \leqq 4, \ 0 \leqq L \leqq 4, \ K \ne L$ なる整数 $K,L$ が存在します。
\begin{eqnarray}
p_n (K) & \leqq & M_n \tag{2} \\
-p_n (L) & \leqq & -m_n \tag{3}
\end{eqnarray}なので、式(1)～(3)を纏めると
\begin{equation}
p_{n +1}(k) -p_{n +1}(l) \leqq \frac{1}{6} \, (M_n -m_n)
\end{equation}を得ます。 $K,L$ を入れ換えても同様です。