京大 2011年理系第2問 - 数式で独楽する

$a,b,c$ を実数とし、Oを原点とする座標平面において、行列 $\displaystyle \left( \begin{array}{cc} a & 1 \\ b & c \end{array} \right)$ により表される1次変換を $T$ とする。この1次変換 $T$ が2つの条件
(i) 点(1, 2)を点(1, 2)に移す。
(ii) 点(1, 0)と点(0, 1)が $T$ によって点A, Bにそれぞれ移るとき、△ABCの面積が $\displaystyle \frac{1}{2}$ である。
を満たすとき、 $a,b,c$ を求めよ。

解答例
解説

解答例

条件(i)より、
\begin{equation}
\left( \begin{array}{cc} a & 1 \\ b & c \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} a +2 \\ b +c \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
a +2 &=& 1 \tag{1} \\
b +2c &=& 2 \tag{2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{cc} a & 1 \\ b & c \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
&=& \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{cc} a & 1 \\ b & c \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
&=& \left( \begin{array}{c} 1 \\ c \end{array} \right)
\end{eqnarray}なので、A, Bの座標は
\begin{equation}
\mathrm{A} (a,b), \ \mathrm{B} (1,c)
\end{equation}です。
条件(ii)より、
\begin{equation}
\triangle \mathrm{OAB} = \frac{1}{2}\, |ac -b| = \frac{1}{2}
\end{equation}つまり
\begin{equation}
ac -b = \pm 1 \tag{3}
\end{equation}を得ます。

式(1)より、
\begin{equation}
a =1
\end{equation}です。
これを式(3)に代入すると、
\begin{equation}
-c -b = 1 \tag{4.1}
\end{equation}または
\begin{equation}
-c -b = -1 \tag{4.2}
\end{equation}となります。

式(2), (4.1)より、
\begin{equation}
c=3, \ b=-4
\end{equation}を得ます。
また、式(2), (4.2)より、
\begin{equation}
c=1, \ b=0
\end{equation}
を得ます。

以上より、求める $(a,b,c)$ の組は
\begin{equation}
(a,b,c) = (-1,0,1), \ (-1,-4,3)
\end{equation}となります。