関数が「正規直交関数系」をなすとは、
\begin{eqnarray}
&& \langle \phi_m (x), \phi_n (x) \rangle &=& \int_a^b \phi_m (x) \phi_n (x) \, dx &=& 0 \quad (m \ne n) \\
||\phi_n (x)||^2 &=& \langle \phi_n (x), \phi_n (x) \rangle &=& \int_a^b \left \{ \phi_n (x) \right \}^2 \, dx &=& 1
\end{eqnarray}を満たすことをいいます。
つまり、
の場合、内積は0
- ノルム(大きさ)は1
ということです。「内積が0」なので「直交」と呼んでいます。
関数の内積 - 数式で独楽する
関数の直交 - 数式で独楽する
関数のノルム - 数式で独楽する
例えば、
\begin{equation}
\sin n\pi x
\end{equation}は、
\begin{equation}
\int_{-1}^1 \sin m\pi x \sin n\pi x \, dx = \left \{ \begin{array}{cc}
0 & (m \ne n) \\
1 & (m = n)
\end{array} \right.
\end{equation}であり、区間]で正規直交関数系をなします。
