空間でO(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(3, 2, 0), C(0, 2, 0), D(0, 0, 4), E(3, 0, 4), (3, 0, 4), F(3, 2, 4), G(0, 2, 4)を頂点とする直方体OABC-DEFGを考える。辺AEを
に内分する点をP、辺CGを
に内分する点をQとおく。ただし、
とする。Dを通り、O, P, Qを含む平面に垂直な直線が線分AC(両端を含む)と交わるような
の満たす条件を求めよ。
解答例
まず、P, Qの座標は
\begin{equation}
\mathrm{P}(3,0,4s), \ \mathrm{Q}(0,2,4t)
\end{equation}です。
そして、線分AC上の点Rを
\begin{equation}
\mathrm{R}(3u, 2(1 -u), 0) \quad (0 \leqq u \leqq 1)
\end{equation}とし、直線DRが平面OPQと垂直に交わる条件を求めます。
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{DR}} = \left( 3u, 2(1 -u), -4 \right)
\end{equation}なので、DR⊥OPおよびDR⊥OQよりそれぞれ
\begin{eqnarray}
9u -16s &=& 0 \\
4(1 -u) -16t &=& 0
\end{eqnarray}を得ます。
整理すると
\begin{eqnarray}
s &=& \frac{9}{16} \, u && 0 < s \leqq \frac{9}{16} \\
t &=& \frac{1}{4} \, (1 -u) && 0 < t \leqq \frac{1}{4}
\end{eqnarray}です。
なお、
を採ると
を採ると
となるので、共に条件を満たさなくなります。
を消去すると、
\begin{equation}
64s +144t = 36
\end{equation}です。
整理すると、求める条件は、
\begin{equation}
16s +36t =9 \quad s >0, \ t >0
\end{equation}となります。
解説
点Dを通る平面OPQの法線が線分ACを通る、としても求められますが、本稿の方法が楽です。
直線と平面が直交するとは、当該直線が平面上の任意の2直線と垂直ということです。
