関数のフーリエ変換をそれぞれ
\begin{equation}
\hat{f} \! (q), \ \hat{g}(q), \ \hat{h}(q)
\end{equation}とします。
線型性
\begin{equation}
h(x) = a\, f(x) +b\, g(x) \quad (a,b : \mbox{定数})
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = a \, \hat{f} \! (q) +b \, \hat{g}(q)
\end{equation}
定義にしたがって式を変形させていくと、示すことができます。
\begin{eqnarray}
\hat{h}(q) &=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, h(x) \\
&=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \left \{ a \, f(x) +b \, g(x) \right \} \\
&=& a \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, f(x) +b \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, g(x) \\
&=& a \, \hat{f} \! (q) +b \, \hat{g}(q)
\end{eqnarray}
定数倍の和のフーリエ変換は、フーリエ変換の定数倍の和となります。
つまり、フーリエ変換は線型性を持っています。
線型というのは - 数式で独楽する
