関数のフーリエ変換を
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ f(x) \right] = \hat{f} \! (q) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \, e^{-iqx}\, dx
\end{equation}と表記することとします。
「定数」のフーリエ変換
\begin{equation}
\mathcal{F} [1] = 2\pi \, \delta(q)
\end{equation}
このことは、
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ \hat{f} \! (x) \right] = 2\pi \, f(-q) \tag{1}
\end{equation}
\begin{equation}
\mathcal{F} [\delta(x)] = \hat{\delta} (q) = 1 \tag{2}
\end{equation}
より導くことができます。
式(1), (2)より、
\begin{equation}
\mathcal{F} [1] = 2\pi \, \delta(-q) \tag{3}
\end{equation}を得ます。
一方、ディラックのデルタ関数は、その定義から、偶関数と見なすことができます。つまり
\begin{equation}
\delta(-q) = \delta(q) \tag{4}
\end{equation}です。
ディラックのデルタ関数 - 数式で独楽する
式(3), (4)より、
\begin{equation}
\mathcal{F} [1] = 2\pi \, \delta(q)
\end{equation}を得ます。
