点Oを原点とする座標空間の3点をA(0, 1, 2), B(2, 3, 0), P
とする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数
が存在することを示せ。またそのとき、交点の座標を求めよ。
解答例
線分OPとABの交点をQとします。は、実数
を用いて次のように表すことができます。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OQ}} &=& (1 -s) \, \overrightarrow{\mathrm{OA}} +s \, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \\
&=& (2s, \, 2s +1, \, -2s +2) \\
\overrightarrow{\mathrm{OQ}} &=& u \, \overrightarrow{\mathrm{OP}} \\
&=& \left( (5 +t)u, \, (9 +2t)u, \, (5 +3t)u \right)
\end{eqnarray}
これより、
\begin{eqnarray}
2s &=& (5 +t)u \\
2s +1 &=& (9 +2t)u \\
-2s +2 &=& (5 +3t)u
\end{eqnarray}となります。整理します。
\begin{eqnarray}
2s -tu -5u &=& 0 \\
2s -2tu -9u &=& -1 \\
2s +3tu +5u &=& 2
\end{eqnarray}を消去します。
\begin{eqnarray}
2s -u &=& 1\\
4s -5u &=& 1
\end{eqnarray}したがって、
\begin{eqnarray}
u &=& \frac{1}{3} \\
s &=& \frac{2}{3} \\
t &=& -1
\end{eqnarray}を得ます。これにて、題意は示されました。
このとき、Qの座標は
\begin{equation}
\mathrm{Q} \left( \frac{4}{3}, \, \frac{7}{3}, \, \frac{2}{3} \right)
\end{equation}です。
解説
AB上の点とOP上の点が一致するという筋で攻めています。
一番ベタな方法す。
成分の一致で連立方程式を組んで、機械的に解けば求められます。
こういう方法もあります。
京大 2006年 理系 第2問 別解 - 数式で独楽する
