京大 2007年理系第3問 - 数式で独楽する

$p$ を3以上の素数とする。4個の整数 $a,b,c,d$ が次の条件
\begin{equation}
a +b +c +d =0, \quad ad -bc +p =0, \quad a \geqq b \geqq c \geqq d
\end{equation}を満たすとき、 $a,b,c,d$ を $p$ を用いて表せ。

解答例
解説

解答例

$a,b,c,d$ について場合分けをしていきます。
全て偶数または全て奇数の場合、
$ad -bc$ は偶数となります。2つ目の条件を満たしません。*1

1つだけ偶数または1つだけ奇数の場合
1つ目の条件より
\begin{equation}
a = -(b +c +d)
\end{equation}などとすれば、両辺の一方が偶数、他方が奇数となるので、条件を満たしません。

偶数と奇数が2つずつの場合、
$a,d$ のいずれか一方のみが偶数で、かつ $b,c$ のいずれか一方のみが偶数の場合、 $ad -bc$ は偶数となり、2つ目の条件を満たしません。

ここまでの記述により、あり得る組合せは、

$a,d$ は偶数、 $b,c$ は奇数
$a,d$ は奇数、 $b,c$ は偶数

のみとなります。
いずれの場合も、 $a +d, \ b +c$ のいずれもが偶数となります。

1つ目の条件により、整数 $m$ を用いて
\begin{eqnarray}
a +d &=& 2m \\
b +c &=& -2m
\end{eqnarray}とできます。
このとき、
\begin{eqnarray}
ad &=& 2ma -a^2 \\
-bc &=& 2mb +b^2
\end{eqnarray}です。したがって、2つ目の条件は
\begin{equation}
2m(a +b) -a^2 +b^2 +p = 0
\end{equation}となります。整理して、
\begin{equation}
p = (a +b)(a -b -2m)
\end{equation}を得ます。 $p$ は素数なので、次の式(1), (2)のいずれか一方が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
a +b &=& 1 \tag{1} \\
a +b &=& p \tag{2}
\end{eqnarray}

ここで式(1)が成り立つと仮定します。
1つ目の条件より、
\begin{equation}
b +c = -1 \tag{3}
\end{equation}を得ます。

$a = 1$ の場合
1つ目と3つ目の条件および式(3)から
\begin{equation}
b = 0, \quad c = 0, \quad d = -1
\end{equation}となります。これは2つ目の条件を満たしません。

$a \geqq 2$ の場合
\begin{equation}
b \leqq -1
\end{equation}となります。3つ目の条件を踏まえると、これは式(3)を満たしません。

$a \leqq 0$ の場合
3つ目の条件と式(1)を同時に満たしません。

したがって、式(1)は題意を満たさないことになります。

式(2)が成り立つと仮定すると、
\begin{equation}
a -b -2m = 1 \tag{3}
\end{equation}となります。
式(2), (3)より、
\begin{eqnarray}
a &=& \frac{p +1}{2} +m \\
b &=& \frac{p -1}{2} -m \\
c &=& \frac{1 -p}{2} \\
d &=& -\frac{p +1}{2}
\end{eqnarray}を得ます。

$a \geqq b$ より
\begin{equation}
1 +2m \geqq 0 \tag{4}
\end{equation} $b \geqq c$ より
\begin{equation}
p -1 \geqq m \tag{5}
\end{equation}なる条件が整数 $m$ に課されることになります。
また、
\begin{equation}
c -d = 1
\end{equation}なので、3つ目の条件は満足しています。

このとき、
\begin{eqnarray}
ad -bc &=& -\frac{(p +1)^2}{4} -\frac{m(p +1)}{2} +\frac{(p -1)^2}{4} +\frac{m(p -1)}{2} \\
&=& -p +m
\end{eqnarray}で、2つ目の条件により、
\begin{equation}
m = 0
\end{equation}となります。

以上より、
\begin{eqnarray}
a &=& \frac{p +1}{2} \\
b &=& \frac{p -1}{2} \\
c &=& -\frac{p -1}{2} \\
d &=& -\frac{p +1}{2}
\end{eqnarray}を得ます。

なお、