2006年後期京大理系第1問 - 数式で独楽する

1次式 $A(x), \ B(x), \ C(x)$ に対して $\{ A(x) \}^2 +\{ B(x) \}^2 = \{ C(x) \}^2$ が成り立つとする。このとき、 $A(x)$ と $B(x)$ はともに $C(x)$ の定数倍であることを示せ。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
C(x) = x +c_0 \tag{0}
\end{equation}としても一般性を失いません。
\begin{eqnarray}
A(x) &=& a_1 (x -c_0) +a_0 \tag{1} \\
B(x) &=& b_1 (x -c_0) +b_0 \tag{2}
\end{eqnarray}とすると、与えられた条件は
\begin{equation}
{a_1}^2 (x -c_0)^2 +2a_1 a_0 (x +c_0) +{a_0}^2 +{b_1}^2 (x -c_0)^2 +2b_1 b_0 (x -c_0) +{b_0}^2 = (x -c_0)^2
\end{equation}となります。整理すると
\begin{equation}
({a_1}^2 +{b_1}^2 -1)(x -c_0)^2 +2(a_1 a_0 +b_1 b_0)(x -c_0) +{a_0}^2 +{b_0}^2 = 0
\end{equation}が恒に成り立つことになります。
これより、以下の式(3)～(5)が同時に成り立ちます。
\begin{eqnarray}
{a_1}^2 +{b_1}^2 -1 &=& 0 \tag{3} \\
a_1 a_0 +b_1 b_0 &=& 0 \tag{4} \\
{a_0}^2 +{b_0}^2 &=& 0 \tag{5}
\end{eqnarray}

複素数を考慮すると、式(5)より
\begin{equation}
b_0 = \pm a_0 \, i
\end{equation}を得ます。式(4)に代入すると
\begin{equation}
a_1 a_0 \pm b_1 a_0 \, i = 0
\end{equation}となります。
$a_0 \ne 0$ を仮定すると
\begin{equation}
a_1 \pm b_1 = 0
\end{equation}となり、両辺を $\mp i$ 倍すると
\begin{equation}
\mp a_1 +b_1 = 0
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
b_1 = \pm a_1 \, i
\end{equation}を得ます。
このとき、
\begin{equation}
{a_1}^2 +{b_1}^2 = {a_1}^2 -{a_1}^2 = 0
\end{equation}となり、式(3)を満たし得ません。
よって
\begin{equation}
a_0 = b_0 = 0
\end{equation}となります。
背理法 - 数式で独楽する

したがって、式(0), (1), (2)より
\begin{eqnarray}
A(x) &=& a_1 (x -c_0) &=& a_1 C(x) \\
B(x) &=& b_1 (x -c_0) &=& b_1 C(x)
\end{eqnarray}を得ます。
よって、 $A(x), \ B(x)$ は $C(x)$ の定数倍であることが示されました。(証明終わり)