2006年後期京大理系第5問 - 数式で独楽する

$H > 0, \ R > 0$ とする。空間内において、原点Oと点P $(R, 0, H)$ を結ぶ線分を、 $z$ 軸のまわりに回転させてできる容器がある。
この容器に水を満たし、原点から水面までの高さが $h$ のとき単位時間あたりの排水量が、 $\sqrt{h}$ となるように、水を排出する。すなわち、時刻 $t$ までに排出された水の総量を $V(t)$ とおくとき、 $\displaystyle \frac{dV}{dt} = \sqrt{h}$ が成り立つ。このとき、すべての水を排出するのに要する時間を求めよ。

解答例
解説

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解答例

容器の容積は
\begin{equation}
V_0 = \frac{1}{3} \, \pi R^2
\end{equation}です。
$z = h$ における断面の円の半径は $\displaystyle \frac{R}{H} \, h$ なので、このときの残量は
\begin{equation}
v(h) = \frac{\pi R^2}{3H^2} \, h^3
\end{equation}です。
したがって、 $z = h$ の時点での総排水量は
\begin{eqnarray}
V &=& V_0 -v(h) \\
&=& \frac{\pi R^2}{3H^2} \, \left( H^3 -h^3 \right)
\end{eqnarray}となります。

これより、
\begin{eqnarray}
\frac{dV}{dt} &=& \frac{dV}{dh} \frac{dh}{dt} \\
&=& -\frac{\pi R^2}{H^2} \, h^2 \, \frac{dh}{dt}
\end{eqnarray}となります。
これと $\displaystyle \frac{dV}{dt} = \sqrt{h}$ より
\begin{equation}
-\frac{\pi R^2}{H^2} \, h^{3/2} \, \frac{dh}{dt} = 1 \tag{1}
\end{equation}を得ます。

全ての水を排出するのに要する時間を $T$ とすると、

$t = 0$ のとき $h = H$
$t = T$ のとき $h = 0$

です。水面の高さ $h$ は時間 $t$ に対して単調減少です。
式(1)の両辺を積分します。
\begin{eqnarray}
-\frac{\pi R^2}{H^2} \int_H^0 h^{3/2} dh &=& \int_0^T dt \\
\frac{\pi R^2}{H^2} \left[ \frac{2}{5} \, h^{5/2} \right]_0^H &=& \biggl[ \ t \ \biggr]_0^T
\end{eqnarray}
よって、求める時間は
\begin{eqnarray}
T &=& \frac{\pi R^2}{H^2} \cdot \frac{2}{5} \, H^{5/2} \\
&=& \frac{2}{5} \, \pi R^2 \sqrt{H}
\end{eqnarray}となります。