平面上の原点と点(1, 2)を結ぶ線分(両端を含む)を
とする。曲線
が
と共有点を持つような実数の組
を
平面上に図示せよ。
解答例
を表す式は
\begin{equation}
y = 2x \quad (0 \leqq x \leqq 1)
\end{equation}です。
\begin{equation}
f(x) = x^2 +ax +b -2x
\end{equation}とします。
\begin{equation}
f(x) = \left( x +\frac{a}{2} -1 \right)^2 -\frac{(a -2)^2}{4} +b
\end{equation}です。
曲線がと共有点を持つ条件は、
が
で解を持つ条件と同じです。
その条件は、次の条件1または条件2です。
条件1:
\begin{equation}
f(0) \, f(1) \leqq 0 \tag{1}
\end{equation}
条件2:
次の式(2)～(5)が全て成り立つことです。
\begin{eqnarray}
f(0) & \geqq & 0 \tag{2} \\
f(1) & \geqq & 0 \tag{3} \\
0 & \leqq & -\frac{a}{2} +1 \leqq 1 \tag{4} \\
f \left( -\frac{a}{2} +1 \right) & \leqq & 0 \tag{5}
\end{eqnarray}
ここで
\begin{eqnarray}
f(0) &=& b \tag{6} \\
f(1) &=& a +b +1 \tag{7} \\
f \left( -\frac{a}{2} \right) &=& -\frac{(a -2)^2}{4} +b \tag{8}
\end{eqnarray}です。
式(6)～(8)を用いて、式(1)～(5)を変形します。
条件1について、式(1)は
\begin{equation}
b(a +b -1) \leqq 0
\end{equation}です。図示すると次のようになります。
条件2については以下の通りです。
式(2)は
\begin{equation}
b \geqq 0
\end{equation}です。図示すると次のようになります。
式(3)は
\begin{equation}
b \geqq -a +1
\end{equation}です。図示すると次のようになります。
式(4)は
\begin{equation}
0 \leqq a \leqq 2
\end{equation}です。図示すると次のようになります。
式(5)は
\begin{equation}
-\frac{(a -2)^2}{4} +b \leqq 0
\end{equation}です*1。図示すると次のようになります。
したがって、条件2を図示すると、次のようになります。
よって、条件1, 2をまとめると、求めるの範囲は、下の図の赤く着色した領域となります。着色領域の境界線は含みます。
*1:の判別式
と同値です。
