2005年後期京大理系第2問 - 数式で独楽する

$\displaystyle \frac{2z +2i}{z +2i} = \bar{z}$ を満たす複素数 $z$ をすべて求めよ。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
z = x +y \, i \quad (x,y \in \mathbb{R}) \tag{0}
\end{equation}とします。与式に代入します。
\begin{equation}
\frac{2x +2(y +1) \, i}{x +(y +2) \, i} = x -y \, i
\end{equation}分母を払って整理します。
\begin{eqnarray}
2x +2(y +1) \, i &=& (x +y \, i) \left \{ x +(y +2) \, i \right \} \\
&=& x^2 +y(y +2) +(xy +2x -xy) \, i \\
&=& x^2 +y(y +2) +2x \, i
\end{eqnarray}
これより、次の式(1), (2)が同時に成り立ちます。
\begin{eqnarray}
2x &=& x^2 +y(y +2) \tag{1} \\
y +1 &=& x \tag{2}
\end{eqnarray}
式(1), (2)より、 $y$ を消去します。
\begin{equation}
2x = x^2 +(x +1)(x -1)
\end{equation}整理して
\begin{eqnarray}
2x^2 -2x +1 &=& 0 \\
x &=& \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} \\
y &=& \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}
\end{eqnarray}を得ます。