2004年前期京大理系第3問 - 数式で独楽する

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right) , \ B = \left( \begin{array} {cc} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right)$ とする。次の(*)が成り立つための $\alpha, \beta$ についての必要十分条件を求めよ。
(*) どんな2次正方行列 $Y$ に対しても、2次正方行列 $X$ で $AX -XB = Y$ となるものがある。

解答例
解説

解答例

行列 $X,Y$ を
\begin{eqnarray}
X &=& \left( \begin{array}{cc} s & t \\ u & v \end{array} \right) \\
Y &=& \left( \begin{array}{cc} x & y \\ z & w \end{array} \right)
\end{eqnarray}とします。
\begin{eqnarray}
AX &=& \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} s & t \\ u & v \end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{cc} 2s & 2t \\ s +u & t +v \end{array} \right) \\
XB &=& \left( \begin{array}{cc} s & t \\ u & v \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{cc} s \alpha & t \beta \\ u \alpha & v \beta \end{array} \right) \\
AX -XB &=& \left( \begin{array}{cc}
s(2 -\alpha) & t(2 -\beta) \\
s +u(1 -\alpha) & t +v(1 -\beta)
\end{array} \right)
\end{eqnarray}となります。
したがって、
\begin{eqnarray}
x &=& s(2 -\alpha) \\
y &=& t(2 +\beta) \\
z &=& s +u(1 -\alpha) \\
w &=& t +v(1 -\beta)
\end{eqnarray}が成り立ちます。
これより、
\begin{eqnarray}
s &=& \frac{x}{2 -\alpha} \\
t &=& \frac{y}{2 -\beta} \\
u &=& \frac{1}{1 -\alpha} \left( z -\frac{x}{2 -\alpha} \right) \\
v &=& \frac{1}{1 -\beta} \left( w -\frac{y}{2 -\beta} \right)
\end{eqnarray}を得ます。

これは、任意の $x,y,z,w$ つまり行列 $Y$ に対し、対応する $s,t,u,v$ つまり $X$ を定めることができることを示しています。
その必要十分条件は次の式を全て満たすことです。
\begin{eqnarray}
\alpha & \ne & 1 \\
\alpha & \ne & 2 \\
\beta & \ne & 1 \\
\beta & \ne & 2
\end{eqnarray}

解説

行列の成分で攻めると良いです。
行列の積は交換則が成立しません。