2004年後期京大理系第4問 - 数式で独楽する

水平面 $V$ 上の3点をO, A, Bとする。Aは線分OB上にあり、線分ABの長さは1メートルであるとする。Oから、 $V$ と垂直に棒が立っている。棒の先端XをA, Bから見たときの仰角はそれぞれ45°, 44°であったという。棒の長さは何メートルか。小数点以下を四捨五入して答えよ。
ただし、 $0.01745 < \tan 1^\circ < 0.01746$ である。

解答例
解説

解答例

棒の長さを $x$ メートルとします。
\begin{eqnarray}
\mathrm{OX = OA} &=& x \\
\mathrm{OB} &=& x +1
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\tan 44^\circ = \frac{x}{x +1}
\end{equation}です。
三角比・三角関数 - 数式で独楽する

また、
\begin{eqnarray}
\tan 44^\circ &=& \frac{\tan 45^\circ -\tan 1^\circ}{1 +\tan 45^\circ \tan 1^\circ} \\
&=& \frac{1 -\tan 1^\circ}{1 +\tan 1^\circ}
\end{eqnarray}です。
加法定理・正接の加法定理 - 数式で独楽する
 加法定理・まとめ - 数式で独楽する

したがって、
\begin{equation}
\frac{x}{x +1} = \frac{1 -\tan 1^\circ}{1 +\tan 1^\circ}
\end{equation}が成り立ちます。
整理します。
\begin{eqnarray}
x(1 +\tan 1^\circ) &=& (x +1)(1 -\tan 1^\circ) \\
x +x \tan 1^\circ &=& x -x \tan 1^\circ +1 -\tan 1^\circ \\
\therefore \quad x &=& \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\tan 1^\circ} -1 \right)
\end{eqnarray}を得ます。

$0.01745 < \tan 1^\circ < 0.01746$ なので、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{0.01746} -1 \right) &<& x &<& \frac{1}{2} \left( \frac{1}{0.01745} -1 \right) \\
\frac{1}{2} \cdot 56.27 \cdots &<& x &<& \frac{1}{2} \cdot 56.30 \cdots \\
\therefore \quad 28.1 &<& x &<& 28.2
\end{eqnarray}
よって、棒の長さは28メートルです。

解説

tan 44°を2通りの方法で表現できることがポイントです。一方は定義通り、もう一方の加法定理によるものです。