2003年後期京大理系第4問 - 数式で独楽する

$\{ a_n \}$ を正の数からなる数列とし、 $p$ を正の実数とする。このとき、 $\displaystyle a_{n +1} > \frac{1}{2} \, a_n -p$ をみたす番号 $n$ が存在することを証明せよ。

解答例
解説

解答例

条件を満たす $n$ が存在しないと仮定します。
つまり、全ての自然数 $n$ に対して
\begin{equation}
a_{n +1} \leqq \frac{1}{2} \, a_n -p \tag{1}
\end{equation}となると仮定します。

式(1)を変形し、
\begin{equation}
a_{n +1} +2p \leqq \frac{1}{2} (a_n +2p)
\end{equation}とします。
この関係より、
\begin{equation}
0 < a_n +2p \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^{n -1} (a_1 +2p)
\end{equation}を得ます。

ここで、 $n \to \infty$ とすると、
\begin{equation}
\left( \frac{1}{2} \right)^{n -1} (a_1 +2p) \to 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
a_n +2p \to 0
\end{equation}となります。
数列の極限その2 はさみうちの原理 - 数式で独楽する

つまり、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} a_n = -2p < 0
\end{equation}です。
これは、 $\{ a_n \}$ が正の数からなる数列であることに反します。

よって、
\begin{equation}
a_{n +1} > \frac{1}{2} \, a_n -p
\end{equation}を満たす番号 $n$ が存在することが示されました。
背理法 - 数式で独楽する

解説

問題文を見ると、手掛かりとなる情報を見つけることができません。途方に暮れること請け合いです。ハードルは物凄く高いです。
ところが、この命題の否定を考えると、別の景色が見えてきます。
「全て」と「存在する」の関係

(1つでも)存在するものがある ⇔ 全く存在しない
全て当てはまる ⇔ (1つでも)当てはまらないものがある

を踏まえると、命題の否定を考える発想になると思います。

与えられた命題の否定を考えると、数列の極限を使える形になります。